Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 13 Bình chọn

Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình qua các đề thi thử năm 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 126 trả lời

#21 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 29-11-2012 - 00:08

Bài 16: Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}
\log _5\left( 5^x-4\right)=1-2y\\ x^3-2y=\left( x^2-x\right) (2y+1)
\end{matrix}\right.$$ Diễn đàn K2pi - Đề số 4 - Phần riêng


$\left\{\begin{matrix} \log _5\left( 5^x-4\right)=1-2y (1)\\ x^3-2y=\left( x^2-x\right) (2y+1) (2)\end{matrix}\right.$

Nhìn vào phương trình (2), ta thử biến đổi xem có gì thú vị hay không (kiểu như có thể đưa về thành tích hay xét hàm được hay không)

$x^3-2y=\left( x^2-x\right) (2y+1)$

$\Leftrightarrow x^3-2y=2x^{2}y+x^{2}-2xy-x$

Nếu để không, phí, chuyển vế chỉ có $x$ qua 1 bên, còn lai qua 1 bên xem có gì hot

$\Leftrightarrow x^3-x^{2}+x=2x^{2}y-2xy+2y$

Đến lúc này, 1 ý tưởng loé ra, đặt nhân tử ở 2 vế xem coi sao

$\Leftrightarrow x(x^{2}-x+1)=2y(x^{2}-x+1)$

Oh yeah, 2 vế giờ đây đã có $x^{2}-x+1$ giống nhau, giờ làm gì ta, thôi đơn giản nó luôn đi nhé, ok, bạn nào mà làm kiểu đấy......ko được đâu nhé :P vì có thể $x^{2}-x+1=0$ đấy, nên thôi, an toàn là trên hết, chuyển qua nhân tử thêm lần nữa

$\Leftrightarrow (x-2y)(x^{2}-x+1)=0$

$\Leftrightarrow x=2y$

Sắp xong rồi đấy, thế vào $(1)$ giải tiếp đi :D

$\log _5( 5^x-4)=1-2y$

$\Leftrightarrow \log _5( 5^{2y}-4)=1-2y$

$\Leftrightarrow 5^{2y}-4=5^{1-2y}$

$\Leftrightarrow 25^{y}-4=\frac{5}{25^{y}}$

$\Leftrightarrow (25^{y})^{2}-4.25^{y}-5=0$

$\Leftrightarrow 25^{y}=5$


$\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=1$

Vậy phương trình có nghiệm $(x;y)=(1;\frac{1}{2})$

Oh yeah, giải quyết xong bài :D cheese :P

Đôi khi ngâm cứu Toán thấy cũng phê


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#22 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 29-11-2012 - 17:16

Bài 16: Giải Hệ Phương trình
$\left\{\begin{matrix}\frac{x-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=2 & \\ \frac{y-x\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{7}{4} & \end{matrix}\right.$



(Đề thi thử Đại học THPT Long Chiêu Sa - Phú Thọ - Lần II)


$\left\{\begin{matrix}\frac{x-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=2 (1)& \\ \frac{y-x\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{7}{4} (2)& \end{matrix}\right.$

Điều kiện:$\left\{\begin{matrix} 0\leq x^{2}-y^{2}<1\\ x^{2}\geq y^{2} \end{matrix}\right.$

Nhìn vào phương trình này, nhiều bạn nhận thấy có mẫu số $\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}$ chung nên thực hiện phép thế xem có gì hot, mình thế phương trình $(1)$ vào $(2)$:

$\frac{2(y-x\sqrt{x^{2}-y^{2}})}{x-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=\frac{7}{4}$

Nhiều bạn sẽ thắc mắc vì sao dám thế như vậy vì lỡ $x-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}=0$ thì sao? Yên tâm đi, nếu điều đó xảy ra thì phương trình $(1)=0$ mất rồi :D

Tới đây làm được gì nữa ta, nhận thấy có $x^{2}-y^{2}$ là hằng đẳng thức có chứa cả $x-y$ nên ta quy đồng lên xem có thể rút nhân tử được hay không?

$8(y-x\sqrt{x^{2}-y^{2}})=7(x-y\sqrt{x^{2}-y^{2}})$

Vấn để nan giải xảy ra, nhìn vào thấy việc phân tích thành nhân tử khá phức tạp, bạn nào đi theo hướng này thì làm hộ mình, mình theo cách khác ^^

$\left\{\begin{matrix}\frac{x-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=2 (1)& \\ \frac{y-x\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{7}{4} (2)& \end{matrix}\right.$

Cũng nhận thấy $\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}$ chung nên mình cũng tận dụng điều đó, nhưng không phải thế mà mình sẽ lấy $(1)-(2)$ và $(1)+(2)$ để ra hệ mới

$\left\{\begin{matrix}\frac{x-y+x\sqrt{x^{2}-y^{2}}-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{4}& \\ \frac{x+y-x\sqrt{x^{2}-y^{2}}-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{15}{4} & \end{matrix}\right.$

Ôi đỡ quá, cả 2 phương trình đều có thể đặt nhân tử được rồi :D

$\left\{\begin{matrix}\frac{(x-y)(1+\sqrt{x^{2}-y^{2}})}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{4}& \\ \frac{(x+y)(1-\sqrt{x^{2}-y^{2}})}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{15}{4} & \end{matrix}\right.$


Đến đây làm gì nữa ? Nhận thấy rẳng phương trình trên có $x-y$ thì dưới có $x+y$, trên có $1+\sqrt{x^{2}-y^{2}}$ thì dưới có $1-\sqrt{x^{2}-y^{2}}$ nên 1 ý tưởng "ma giáo" xuất hiện: nhân 2 phương trình lại để ra hằng đẳng thức $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ (chưa kể nhân lại còn làm mất căn ở mẫu nữa ^^), bắt đầu làm thôi

$\left\{\begin{matrix}\frac{(x-y)(1+\sqrt{x^{2}-y^{2}})}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{4}& \\ \frac{(x+y)(1-\sqrt{x^{2}-y^{2}})}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{15}{4} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \frac{(x^{2}-y^{2})(1-x^{2}+y^{2})}{1-x^{2}+y^{2}}=\frac{15}{16}$

$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=\frac{15}{16}$ (oh yeahhhhhhhh, khử được mẫu rồi :D)

Làm gì nữa ta :-? chuyển vế xong thế àh, no no no, so điều kiện cái đã :D, ta có $0\leq x^{2}-y^{2}<1$ nên giá trị $\frac{15}{16}$ là thoả mãn.

OK giờ thế chứ? Nooooooooooooooooo, chưa thế cũng biết 1 tương lai mờ mịt đang chờ chúng ta, bình tĩnh nào, giờ ta quay lại hệ ban đầu

$\left\{\begin{matrix}\frac{x-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=2 & \\ \frac{y-x\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{7}{4} & \end{matrix}\right.$

Cả 2 phương trình đều có $x^{2}-y^{2}$ nên ta thay giá trị $\frac{15}{16}$ vào $x^{2}-y^{2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{x-y\sqrt{\frac{15}{16}}}{\frac{1}{4}}=2 & \\ \frac{y-x\sqrt{\frac{15}{16}}}{\frac{1}{4}}=\frac{7}{4} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y.\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2} & \\ x\frac{\sqrt{15}}{4}-y=-\frac{7}{16} & \end{matrix}\right.$

Đến đây, ký ức những năm tháng cấp 2 chợt ùa về, ta đã đưa 1 hệ phương trình phức tạp về 1 hệ đơn giản rất nhiều, sử dụng cách cấp 2 để giải nhé, kết quả là:

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{32+7\sqrt{15}}{4}\\ y=7+2\sqrt{15} \end{bmatrix}$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x;y)=(\frac{32+7\sqrt{15}}{4};7+2\sqrt{15})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 30-11-2012 - 00:23

Đôi khi ngâm cứu Toán thấy cũng phê


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#23 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 29-11-2012 - 20:39

tiếp tục:
bài 17: giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x^3+4y=y^3+16x & \\ 1+y^2=5(1+x^2) & \end{matrix}\right.$$

THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 khối A


bài 18: giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=(3y+1)(y+1)+1-x & \\ \sqrt{x+y}+3\sqrt{x+3y+19}=105-xy-y^3 & \end{matrix}\right.$$


THPT Chuyên Lê Hồng Phong TPHCM lần 1, khối A,B


Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#24 longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Công Nghệ Thông Tin - ĐHQG TPHCM

Đã gửi 29-11-2012 - 22:34

tiếp tục:
bài 18: giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=(3y+1)(y+1)+1-x & \\ \sqrt{x+y}+3\sqrt{x+3y+19}=105-xy-y^3 & \end{matrix}\right.$$



THPT Chuyên Lê Hồng Phong TPHCM lần 1, khối A,B


\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = (3y + 1)(y + 1) + 1 - x & (1) \\
\sqrt {x + y} + 3\sqrt {x + 3y + 19} = 105 - {y^3} - xy\,\,(2) \\
\end{array} \right.\]
Đk:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y \ge 0 \\
x + 3y + 19 \ge 0 \\
\end{array} \right.\]
nhìn điều kiện đặt ra khá phức tạp nên ta sẽ không giải cụ thể mà giữ nguyên, sau khi tìm nghiệm ta sẽ thay lên kiểm tra.
Quay về bài toán, nhìn pt $(2)$ khá khủng với những căn thức nên ta sẽ biến đổi pt $(1)$. Ý tưởng vẫn chưa có gì nhưng nhân tung pt $(1)$ ra xem thế nào?
\[\begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = 3{y^2} + 4y + 2 - x \\
\Leftrightarrow {x^3} + x = {y^3} + 3{y^2} + 4y + 2 \\
\end{array}\]
pt $(2)$ lúc này đã xuất hiện 1 vế toàn $x$, vế còn lại toàn $y$ nên ta sẽ nghĩ tới hàm đặc trưng theo cấu trúc $t^3+t$
Vậy lúc này chỉ cần biến đổi sao cho $y^3+3y^2+4y+2=(y+\alpha)^3+(y+\alpha)$ là ok.
đồng nhất hệ số bằng pp hệ số bất định sẽ giúp ta xác định được $\alpha=1$
Vậy thì lúc này $y^3+3y^2+4y+2=(y+1)^3+(y+1)$
Do đó $(1) \Leftrightarrow x^3+x=(y+1)^3+(y+1)$
Xét hàm $f(t)=t^3+t$ trên $\mathbb{R}$ có $f'(t)=3t^2+1 >0 \Rightarrow$ hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mà $f(x)=f(y+1) \Leftrightarrow x=y+1$
thay vào pt $(2)$ rồi rút gọn sẽ thu được phương trình
$\sqrt {2y + 1} + 3\sqrt {4y + 20} + {y^3} + {y^2} + y - 105 = 0$
đến đây ta tiếp tục xét hàm $g(y)=\sqrt {2y + 1} + 3\sqrt {4y + 20} + {y^3} + {y^2} + y - 105 = 0$ với $y \geq -\frac{1}{2}$
Có $g'(y)=\frac{1}{{\sqrt {2y + 1} }} + \frac{6}{{\sqrt {y + 5} }} + 3{y^2} + 2y + 1 > 0 \Rightarrow$ Hàm đồng biến trên $[-\frac{1}{2},+\propto)$
Mà $g(4)=0 \Leftrightarrow y=4$ là nghiệm duy nhất
Trả $y$ vào phép thế tìm được $x=5$
Chưa kết luận được đâu nhé mọi người, ta kiểm tra điều kiện phát:
\[\left\{ \begin{array}{l}
5 + 4 \ge 0(ok) \\
5 + 3.4 + 19 \ge 0(chuan) \\
\end{array} \right.\]
kết luận dc rồi đấy nhể :D
Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x,y)$
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 \\
y = 4 \\
\end{array} \right.\]

SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#25 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 30-11-2012 - 14:06

tiếp tục:
bài 17: giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x^3+4y=y^3+16x & \\ 1+y^2=5(1+x^2) & \end{matrix}\right.$$

THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 khối A


Phân tích: Phương trình trên có bậc 3-0, phương trình dưới có bậc 2-0, vậy ta nghĩ tới đưa hệ về phương trình đẳng cấp bậc 3.
Giải:
Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 4y = {y^3} + 16x \\
1 + {y^2} = 5\left( {1 + {x^2}} \right) \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 4\left( {y - 4x} \right) - {y^3} = 0 \\
{y^2} - 5{x^2} = 4 \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow {x^3} + \left( {{y^2} - 5{x^2}} \right)\left( {y - 4x} \right) - {y^3} = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
x = - \frac{1}{3}y \\
x = \frac{4}{7}y \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$
Thay lần lượt vào pt dưới ta được các nghiệm:

$\left( {x;y} \right) = \left( {0; \pm 2} \right),\left( {1; - 3} \right),\left( { - 1,3} \right)$

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#26 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 30-11-2012 - 14:12

Bài 19: Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x\sqrt {{y^2} + 6} + y\sqrt {{x^2} + 3} = 7xy \\
x\sqrt {{x^2} + 3} + y\sqrt {{y^2} + 6} = 2 + {x^2} + {y^2} \\
\end{array} \right.\]

NGUOITHAY.VN lần 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 30-11-2012 - 22:20

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#27 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-12-2012 - 21:57

Bài 20: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
2x + y + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 17 \\
y\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 12
\end{array} \right.;\,\,\,(x,y \in R)\]
Đề thi thử lần 1 Moon.vn phần chung
Bài 21:\[4\log _{\frac{1}{4}}^2\frac{x}{2} + 2{\log _{2x}}(8{x^2}) - 3{\log _4}(2x) = 3\]
Đề thi thử lần 1 moon.vn phần riêng - chương trình chuẩn
Bài 22: \[(1 + \cos x)(2 + {4^{\cos x}}) = {3.4^{\cos x}}\]
Đề thi thử lần 1 moon.vn phần riêng - chương trình nâng cao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 01-12-2012 - 22:24

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#28 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 01-12-2012 - 22:54

Bài 20: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
2x + y + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 17 \\
y\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 12
\end{array} \right.;\,\,\,(x,y \in R)\]
Đề thi thử lần 1 Moon.vn phần chung


nhận xét: ở PT(2) có đại lượng $ y\sqrt{x^2-y^2}=12 $ gợi ý cho ta biến đổi PT(1) sao cho cũng có đại lượng này, có thể thấy ngay 1 cách đó là bình phương. Và đây là lời giải:

điều kiện: $ x^2 \geq y^2; y>0 $

$ PT(1) \Leftrightarrow y+\sqrt{x^2-y^2}=17-2x $

thực hiện bình phương 2 vế ta đc:

$ y^2+x^2-y^2+2y\sqrt{x^2-y^2}=289-68x+4x^2 $

$ \Leftrightarrow 3x^2-68x+265=0 $

$ x=\frac{53}{3} \vee x=5 $

tới đây ta có thể thay trực tiếp $ x $ vào và giải ra nghiệm $ y$, nhưng như thế hơi vất vả vì các căn sẽ khá khủng, thử biến thổi thêm chút, vì $ y>0 $ nên nhân cả 2 vế của PT(1) với $ y$ ta được:

$ 2xy+y^2+y\sqrt{x^2-y^2}=17y $

$ \Leftrightarrow y^2-17y+2xy+12=0 $ (*)

tới đây thì thay $ x $ vào và giải PT bậc 2 chỉ còn là chuyện vặt :D

*) nếu $ x=\frac{53}{3} $ thì $ (*) \Leftrightarrow 3y^2+55y+36=0 $

$ \Leftrightarrow y=\frac{-55+\sqrt{2593}}{6} (k.TM) \vee y=\frac{-55-\sqrt{2593}}{6} (k.TM) $

*) nếu $ x=5 $ thì $ (*) \Leftrightarrow y^2-7y+12=0 $

$ \Leftrightarrow y=4 \vee y=3 $ (cả 2 đều thỏa)

vậy hệ có nghiệm $ (5;4) $ và $(5;3) $
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#29 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 01-12-2012 - 23:00

Bài 23: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{c}(x-1)\left( y^2+6\right) =y\left( x^2+1\right)\\(y-1)\left(x^2+6\right) =x\left( y^2+1\right)\end{array} \right.$$ Đề khảo sát THPT Đoàn Thượng Hải Dương - Đề khảo sát
Bài 24: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{c}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2\sqrt{y}\\ \sqrt{x}+\sqrt{5y}=3\end{array} \right.$$ Chuyên Thái Ngọc Hầu - An Giang - Lần 1
Bài 25: Tìm m để phương trình sau có nghiệm $$x+2\sqrt{(2-x)(2x+2)}=m+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)$$ Đề khảo sát
Bài 26: Giải bất phương trình $$4^x\le 3.2^{\sqrt{x}+x}+4^{1+\sqrt{x}}$$ Chuyên Thái Ngọc Hầu - An Giang - Lần 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 01-12-2012 - 23:19

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com


#30 sogenlun

sogenlun

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-12-2012 - 13:44

Bài 24: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{c}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2\sqrt{y}\\ \sqrt{x}+\sqrt{5y}=3\end{array} \right.$$

Điều kiện : $x \ge 0 , y \ge 0$
Nhận thấy phương trình $(1)$ tương đương với :
$$ \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} = \sqrt{2[(x+y)-(x-y)]} $$
Xảy ra $2$ trường hợp :
$\bullet$ $\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} = 0 \Leftrightarrow x=y=0 $ không thỏa pt$(2)$
$\bullet$ $ \sqrt{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}} =\sqrt{2(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y})} $
$$\Leftrightarrow 4x=5y$$
Thay vào $(2)$ được $x=1 \Rightarrow y=\dfrac{4}{5}$
Vậy hệ có nghiệm : $(1;\dfrac{4}{5})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sogenlun: 02-12-2012 - 13:45

Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net


#31 Celia

Celia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hành tinh thứ 3 trong hệ Mặt trời =))

Đã gửi 02-12-2012 - 20:09

Bài 23: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{c}(x-1)\left( y^2+6\right) =y\left( x^2+1\right)\\(y-1)\left(x^2+6\right) =x\left( y^2+1\right)\end{array} \right.$$ Đề khảo sát THPT Đoàn Thượng Hải Dương - Đề khảo sát


Hệ đối xứg loại II., nhân bung nó ra ta được
$\left\{\begin{matrix} xy^2+6x-y^2-6=xy^2+y (1) & \\ x^2y+6y-x^2-6=xy^2+x (2) & \end{matrix}\right.$

Trừ vvv của (1) và (2) , đặt nhân tử chug x-y
được
$(x-y)(x+y+7-2xy)$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y (3)& \\ x+y-2xy+7=0 (4) & \end{bmatrix}$

Từ (3) thế vào pt đầu có 2 cặp no (3;3) ; (2;2)


Xử lí pt (4)
Lại cộg vvv của (1) và (2) được pt $x^2+y^2-5(x+y) +12 =0$

Kết hợp với (4) có hệ
$\left\{\begin{matrix} x+y+7-2xy=0 & \\ x^2+y^2- 5(x+y) +12 =0 & \end{matrix}\right.$

Từ đây dễ dàng giải tiếp....

I don't know what I want, so don't ask me
’Cause I'm still trying to figure it out
Don't know what's down this road, I'm just walking
Trying to see through the rain coming down
Even though I'm not the only one
Who feels the way I do


-----------=============----------Dân Anh Lanh Chanh Học Toán---------------------===========--------Hình đã gửi


#32 Celia

Celia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hành tinh thứ 3 trong hệ Mặt trời =))

Đã gửi 02-12-2012 - 20:21

Bài 27: Giải PT

$\sqrt[4]{27x^2+24x+\frac{28}{3}}= 1+\sqrt{\frac{27}{2}x+6}$

@MOD:Đây là đề của trường nào hả cậu ???
Không cần làm hết nhưng cố gắng ghi thêm đáp số vào nhé (nên đọc nội quy topic trước khi gửi bài)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 03-12-2012 - 20:25

I don't know what I want, so don't ask me
’Cause I'm still trying to figure it out
Don't know what's down this road, I'm just walking
Trying to see through the rain coming down
Even though I'm not the only one
Who feels the way I do


-----------=============----------Dân Anh Lanh Chanh Học Toán---------------------===========--------Hình đã gửi


#33 donghaidhtt

donghaidhtt

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 494 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Ngắm gái và ... ngắm gái! :P

Đã gửi 02-12-2012 - 23:35

Bài 27: Giải PT

$\sqrt[4]{27x^2+24x+\frac{28}{3}}= 1+\sqrt{\frac{27}{2}x+6}$

Điều kiện: $\frac{27}{2}x+6\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{-4}{9}$
$\sqrt[4]{27x^2+24x+\frac{28}{3}}= 1+\sqrt{\frac{27}{2}x+6}$
$\Leftrightarrow \sqrt[4]{\frac{4}{27}(\frac{27}{2}x+6)^2+4}=1+\sqrt{\frac{27}{2}x+6}$
Đặt: $a=\sqrt{\frac{27}{2}x+6}\geq 0$
Phương trình: $\sqrt[4]{\frac{4}{27}a^4+4}=1+a$
$\Leftrightarrow \frac{4}{27}a^4+4=a^{4}+4a^3+6a^2+4a+1$
$\Leftrightarrow 23a^4+108a^3+162a^2+108a-81=0$
$\Leftrightarrow (a+3)(23a^3+39a^2+45a-27)=0$
$\Leftrightarrow 23a^3+39a^2+45a-27=0$
Tới đây chịu?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 02-12-2012 - 23:36


#34 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 02-12-2012 - 23:45

Bài 28: Giải phương trình $$4^x\left( \sqrt{2.6^x-4^x}+\sqrt[4]{4.24^x-3.16^x}\right) =27^x-12^x+2.8^x$$ Diễn đàn Onluyentoan - Lần 2
Bài 29: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{c}9xy^3-24y^2+\left( 27x^2+40\right) y+3x-16=0\\y^2+(9x-10)y+3(x+3)=0 \end{array} \right.$$ Diễn đàn Onluyentoan - Lần 2
Bài 30: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{c}\sqrt{2x+y+5}-\sqrt{3-x-y}=x^3-3x^2-10y+6\\x^3-6x^2+13x=y^3+y+10\end{array} \right.$$ THPT Thuận Thành số 1 - Bắc Ninh - Lần 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 03-12-2012 - 17:31

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com


#35 DUONGSMILE

DUONGSMILE

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUẾ
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 03-12-2012 - 21:01

Điều kiện: $\frac{27}{2}x+6\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{-4}{9}$
$\sqrt[4]{27x^2+24x+\frac{28}{3}}= 1+\sqrt{\frac{27}{2}x+6}$
$\Leftrightarrow \sqrt[4]{\frac{4}{27}(\frac{27}{2}x+6)^2+4}=1+\sqrt{\frac{27}{2}x+6}$
Đặt: $a=\sqrt{\frac{27}{2}x+6}\geq 0$
Phương trình: $\sqrt[4]{\frac{4}{27}a^4+4}=1+a$
$\Leftrightarrow \frac{4}{27}a^4+4=a^{4}+4a^3+6a^2+4a+1$
$\Leftrightarrow 23a^4+108a^3+162a^2+108a-81=0$
$\Leftrightarrow (a+3)(23a^3+39a^2+45a-27)=0$
$\Leftrightarrow 23a^3+39a^2+45a-27=0$
Tới đây chịu?

TỚI ĐÂY DÙNG CÔNG THỨC NGHIỆM PT BẬC BA MÀ GIẢI

TOÁN HỌC LÀ HƠI THỞ CỦA CUỘC SỐNG


#36 donghaidhtt

donghaidhtt

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 494 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Ngắm gái và ... ngắm gái! :P

Đã gửi 03-12-2012 - 21:03

TỚI ĐÂY DÙNG CÔNG THỨC NGHIỆM PT BẬC BA MÀ GIẢI

Thi thử đại học không sử dụng công thức nghiệm bậc ba mà?
Đừng trích dẫn toàn bộ bài viết nhé

#37 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 04-12-2012 - 11:44

Bài 28: Giải phương trình $$4^x\left( \sqrt{2.6^x-4^x}+\sqrt[4]{4.24^x-3.16^x}\right) =27^x-12^x+2.8^x$$ Diễn đàn Onluyentoan - Lần 2


Lời giải:

Nhận thấy các hạng tử mũ đều đưa được về theo $2^x$ và $3^x$ nên để tiện quan sát ta đặt: $2^x=u;\, 3^x=v$
Ta được phương trình:
$$u^2\left( \sqrt{2uv-u^2}+\sqrt[4]{4u^3v-3u^4}\right) =v^3-u^2v+2u^3$$
Quan sát kĩ một chút sẽ thấy đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 (Chú ý rằng $\sqrt{uv}$ hay $\sqrt[4]{u^3v}$ là bậc một nhé) do đó cách làm là chia cả hai vế cho $u^3>0$ (vì nhận thấy vế trái có nhân tử $u^2$) ta được phương trình tương đương
$$\sqrt{2\dfrac{v}{u}-1}+\sqrt[4]{4\dfrac{v}{u}-3}=\left( \dfrac{v}{u}\right) ^3-\dfrac{v}{u}+2$$
Lại với mục đích dễ nhìn ta lại đặt $t=\dfrac{v}{u}$
$$\sqrt{2t-1}+\sqrt[4]{4t-3}=t^3-t+2$$
Cách 1: (Theo bạn kienqb - Diễn đàn Onluyentoan)

Dễ thấy được $t=1$ là một nghiệm ta sẽ phân tích phương trình như sau:$$\sqrt{2t-1}-t+\sqrt[4]{4t-3}-t=t^3-3t+2$$$$\Leftrightarrow \dfrac{-t^2+2t-1}{\sqrt{2t-1}+t}+\dfrac{-t^4+4t-3}{(\sqrt[4]{4t-3}+t)(\sqrt{4t-3}+t^2)}=(t-1)^2(t+2)$$
$$\Leftrightarrow -(t-1)^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2t-1}+t}+\dfrac{t^2+2t+3}{(\sqrt[4]{4t-3}+t)(\sqrt{4t-3}+t^2)}+(t+2)\right)=0\Leftrightarrow t=1$$
Cách 2:

Bằng cách thử các phương pháp thông thường gặp nếu gặp khó khăn thì phương pháp sau cùng nghĩ đến là đánh giá
$$\sqrt{2t-1}+\sqrt[4]{4t-3}\le \dfrac{1+2t-1}{2}+\dfrac{3+4t-3}{4}=2t$$
$$\Rightarrow t^3-t+2\le 2t\Leftrightarrow t^3-3t+2\le 0\Leftrightarrow (t-1)^2(t+2)\le 0\Leftrightarrow t=1$$
Từ đó được nghiệm phương trình là $x=0$
Bình luận: Bài toán này nếu đặt trong một đề thi thử ĐH thông thường (tức là tính thời gian đúng 180' với nhiều đối tượng học sinh), lại nằm ở phần riêng (thường là câu phương trình mũ, logarit tương đối dễ) thì có lẽ là không phù hợp, nhưng giải bài toán này vừa rèn luyện khả năng biến đổi phương trình mũ vừa là một ví dụ về phương trình vô tỉ rất hay
Có lẽ sẽ gần gũi hơn với đa số bạn thì đề bài có thể sửa lại như sau:
Giải phương trình: $$4^x\left( \sqrt{2.6^x-4^x}+\sqrt[4]{4.24^x-3.16^x}\right) =12^x-27^x+2.8^x$$ (Cách làm thì cũng dùng phương pháp trục căn (nhân với lượng liên hợp), nhưng tiếp cận đơn giản hơn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 04-12-2012 - 17:28

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com


#38 minhdat881439

minhdat881439

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 04-12-2012 - 12:41

Bài 30: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{c}\sqrt{2x+y+5}-\sqrt{3-x-y}=x^3-3x^2-10y+6(1)\\x^3-6x^2+13x=y^3+y+10(2)\end{array} \right.$$ THPT Thuận Thành số 1 - Bắc Ninh - Lần 1

Pt (2) $\Leftrightarrow (x-2)^3+(x-2)+10=y^3+y+10$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t+10$ có $f'(t)=3t^2+1 >0 $ $\forall t$
$\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ :
Mà $f(x-2)=f(y)\Leftrightarrow y=x-2$ thay vào pt (1) ta được:
$x^3-3x^2-10x+26=\sqrt{3x+3}-\sqrt{5-2x}$ ĐK: $-1\leq x\leq \frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow (x+3)(x-2)(x-4)=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x+3}+3}-\frac{-2(x-2)}{\sqrt{5-2x}+1}$
$\Leftrightarrow (x-2)[(x+3)(x-4)-\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}-\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}]=0$
$\Rightarrow x=2$ (thỏa) $\Rightarrow y=0$
Xét:
$(x+3)(x-4)-\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}-\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}=0$
$\Leftrightarrow x^2-x-12=\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}$
mà $\left\{\begin{matrix} VP>0 & \\ VT< 0 \forall x \in [-1;\frac{5}{2}] & \end{matrix}\right.$ nên pt vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;0)

Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng


Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF


#39 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 04-12-2012 - 18:47

Bài 26: Giải bất phương trình $$4^x\le 3.2^{\sqrt{x}+x}+4^{1+\sqrt{x}}$$ Chuyên Thái Ngọc Hầu - An Giang - Lần 1


nhận thấy cả 2 vế của bất phương trình đều có dạng lũy thừa của 2 nên ta sẽ đưa về cùng 1 cơ số để giải

$ BPT \Leftrightarrow 2^{2x} \leq 3.2^{x+\sqrt{x}}+4.2^{2\sqrt{x}} $

chia cả 2 vế cho $ 2^{2\sqrt{x}} $ ta được:

$ 2^{2x-2\sqrt{x}} \leq 3.2^{x-\sqrt{x}}+4 $

đặt $ 2^{x-\sqrt{x}}=t> 0 $ thì BPT trở thành:

$ t^2 \leq 3t+4 $

$ \Leftrightarrow t \in [-1;4] $

mà $ t >0 $ nên $ t \in (0;4] $

$ \Leftrightarrow 0<2^{x-\sqrt{x}} \leq 4 $

$ \Leftrightarrow x-\sqrt{x} \leq 2 $

$ x \in [0;4] $

vậy BPT có tập nghiệm là $ x \in [0;4] $
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#40 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 04-12-2012 - 22:24

Bài 29: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{c}9xy^3-24y^2+\left( 27x^2+40\right) y+3x-16=0\\y^2+(9x-10)y+3(x+3)=0 \end{array} \right.$$ Diễn đàn Onluyentoan - Lần 2

nhân phá tung ngoặc ra cho dễ nhìn :D

$ hpt \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9xy^3-24y^2+27x^2y+40y+3x-16=0 & \\ y^2+9xy-10y+3x+9=0 & \end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9xy(y^2+3x)+y^2+3x=25y^2-40y+16 (1) & \\ y^2+3x=10y-9xy-9 (2)) & \end{matrix}\right.$

$ (1) \Leftrightarrow (y^2+3x)(9xy+1)=(5y-4)^2$

thế từ PT(2) vào đây ta được:

$ (10y-9xy-9)(9xy+1)=(5y-4)^2 $

$ \Leftrightarrow [2(5y-4)-9xy-1]=(5y-4)^2 $

$ \Leftrightarrow (5y-4)^2-2(5y-4)(9xy+1)+(9xy+1)^2=0 $

$ \Leftrightarrow 5y-4=9xy+1 $

tới đây thì có thể đi theo con đường rút thế khá vất vả, ta có thể làm cách khác như sau:

thế $ 9xy=5y-5 $ vào PT(2) thì:

$ (2) \Leftrightarrow y^2+5y-5-10y+3x+9=0 $

$ \Leftrightarrow y^2-5y+3x+4=0 $(*)

dễ thấy $ y=0 $ không là nghiệm của hệ, nhân cả 2 vế của (*) với $ y $ ta có:

$ y^3-5y^2+3xy+4=0 $

$y^3-5y^2+\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}=0 $

$ \Leftrightarrow y=1 \vee y=\frac{6+\sqrt{57}}{3} \vee y=\frac{6-\sqrt{57}}{3} $

vậy hệ có nghiệm $ (0;1); (\frac{15+5\sqrt{57}}{54+9\sqrt{57}};\frac{6+\sqrt{57}}{3});(\frac{15-5\sqrt{57}}{54-9\sqrt{57}};\frac{6-\sqrt{57}}{3}) $
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh