Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình qua các đề thi thử năm 2013
#1
Posted 22-11-2012 - 20:12
Trước khi thảo luận cần lưu ý các thành viên một số điểm như sau:
1. Trình bày sơ lược hướng giải và cho đáp số bài toán (Có thể không cần lời giải chi tiết (nếu có thì càng tốt) nhưng cần phải có hướng giải rõ ràng để người đọc có thể hình dung được bạn định làm gì và đặc biệt phải có đáp số)
2. Khuyến khích việc trình bày nhiều cách giải cho một bài toán + Trình bày cách định hướng cho bài toán (tại sao lại nghĩ đến việc biến đổi như vậy chẳng hạn)
3. Khuyến khích việc sưu tầm các bài toán trong các đề thi thử 2013 để cùng thảo luận, khi gửi một bài toán cần ghi rõ là đề thi thử của trường nào? Lần thứ bao nhiêu?
4. Nếu các lời giải lấy từ các diễn đàn khác cần ghi rõ là sưu tầm
5. Topic chỉ thảo luận về các bài toán như đã nói ở trên, không dùng để trả lời các vấn đề ngoài lề, ví dụ như bạn có thể cho mình toàn bộ đề thi thử được không? (hãy sử dụng chức năng nhắn tin nếu cần) Nếu thấy bài viết có ích hãy nhấn nút Like thay cho lời cảm ơn!
Nếu topic thành công có thể sẽ được tổng hợp thành tài liệu chung của VMF vì vậy rất mong các bạn sẽ tham gia sôi nổi!
Bài 1: Diễn đàn Math4vn - Đề số 1 $$2\left( \sqrt{x-2}+3\right) \sqrt[3]{2(x+2)\sqrt{x-2}+2(3x-2)}=7\sqrt{x-2}+12.$$
Bài 2: Diễn đàn Onluyentoan - Đề số 1 $$4\left( \sqrt{x+1}-3\right) x^2+\left( 13\sqrt{x+1}-8\right) x-4\sqrt{x-1}-3=0$$
Bài 3: Diễn đàn K2pi - Đề số 3 - Phần riêng $$\dfrac{\sqrt{2+3^{2x}}}{\sqrt{2+3^{2x}}-\sqrt{2-3^{2x}}}+\dfrac{3^{4x}+\sqrt{4-3^{4x}}-7}{3^{2x}}\ge\dfrac{3^{2x}-2}{\sqrt{4-3^{4x}}-2+3^{2x}}$$
Bài 4: THPT Lệ Kha - Thanh Hóa - Lần 1 $$\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+3x-5}}\ge \dfrac{1}{2x-1}$$
Bài 5: Diễn đàn Truonghocso - Đề số 1 $$\dfrac{x\left( 4x^2+9x+6\right) }{\sqrt[3]{x\left( 4x^2+3x+2\right) +1}-1}\ge 1$$
Bài 6: Diễn đàn Boxmath - Lần 1 $$\left\{ \begin{array}{1}3x^2-2x-5+2x\sqrt{x^2+1}=2(y+1)\sqrt{y^2+2y+2}\\x^2+2y^2=2x-4y+3\end{array} \right.$$
Bài 7: Tạp chí THTT - Đề số 1$$\left\{\begin{matrix} x+y-1+\dfrac{1}{\sqrt{2x+y}}=0(1)\\ \dfrac{1}{x+y+1}+\sqrt{2x+y}=2 (2)\end{matrix}\right.$$
- hoangtrong2305, thukilop, Mai Duc Khai and 22 others like this
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#2
Posted 22-11-2012 - 22:41
Bài 7: Tạp chí THTT - Đề số 1$$\left\{\begin{matrix} x+y-1+\dfrac{1}{\sqrt{2x+y}}=0(1)\\ \dfrac{1}{x+y+1}+\sqrt{2x+y}=2 (2)\end{matrix}\right.$$
$\left\{\begin{matrix} x+y-1+\dfrac{1}{\sqrt{2x+y}}=0(1)\\ \dfrac{1}{x+y+1}+\sqrt{2x+y}=2 (2)\end{matrix}\right.$
ĐK:.............................
Dễ thấy cả 2 phương trình đều có phần chung là $x+y$ hay $\sqrt{2x+y}$ nên ta sẽ xài phương pháp thế để giải.
$\left\{\begin{matrix} x+y-1+\dfrac{1}{\sqrt{2x+y}}=0\\ \dfrac{1}{x+y+1}+\sqrt{2x+y}=2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=1-\dfrac{1}{\sqrt{2x+y}}\\ \dfrac{1}{x+y+1}+\sqrt{2x+y}=2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2-\dfrac{1}{\sqrt{2x+y}}}+\sqrt{2x+y}=2$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2x+y}}{2\sqrt{2x+y}-1}+\sqrt{2x+y}=2$
Đặt $a=\sqrt{2x+y};a\geq 0$, phương trình thành:
$\dfrac{a}{2a-1}+a=2$
$\Leftrightarrow a^{2}-2a+1=0$
$\Leftrightarrow a=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x+y}=1$
$\Leftrightarrow y=1-2x$$\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=-1$
Thay vào (1), ta có:
$x+y-1+\dfrac{1}{\sqrt{2x+y}}=0$
$\Leftrightarrow x+y=0$
$\Leftrightarrow 1-x=0$
$\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=-1$
Vậy hệ có nghiệm $(1;-1)$
Edited by hoangtrong2305, 22-11-2012 - 22:45.
- NGOCTIEN_A1_DQH, Mai Duc Khai, Nxb and 11 others like this
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
#3
Posted 22-11-2012 - 23:13
Bài 4: THPT Lệ Kha - Thanh Hóa - Lần 1 $$\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+3x-5}}\ge \dfrac{1}{2x-1}$$
$\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+3x-5}}\ge \dfrac{1}{2x-1}$
Điều kiện: $\begin{bmatrix} x>1\\ x<-\frac{5}{2} \end{bmatrix}$
Nhận xét:
- Ta có VT luôn dương do tử là số 1 (dương) và mẫu là căn thức bậc hai luôn dương, vì vậy để VT>VP thì:
+ Giả sử VP âm (ứng với $\dfrac{1}{2x-1}<0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}$) thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng, so điều kiện, ta có $x<-\frac{5}{2}$
+ Giả sử VP dương (ứng với $\dfrac{1}{2x-1}>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$, so điều kiện, có $x>1$) lúc này, ta được phép bình phương 2 vế:
$\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+3x-5}}\ge \dfrac{1}{2x-1}$
$\dfrac{1}{2x^2+3x-5}\ge \dfrac{1}{4x^{2}-4x+1}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2x^2+3x-5}-\dfrac{1}{4x^{2}-4x+1}\geq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{2x^{2}-7x+6}{(2x^2+3x-5)(4x^{2}-4x+1)}\geq 0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x<-\frac{5}{2}\\
1<x\leq \frac{3}{2}\\
x\geq 2
\end{bmatrix}$
So điều kiện, ta có $\begin{bmatrix}
x<-\frac{5}{2}\\
1<x\leq \frac{3}{2}\\
x\geq 2
\end{bmatrix}$
Nhiều bạn thắc mắc nếu ngay từ đầu ta bình phương ngay để mất căn thì được không, ta xét trường hợp sau:
$3\geq -5$
$\Leftrightarrow 3^{2}\geq (-5)^{2}$
$\Leftrightarrow 9\geq 25$ (sai)
Như vậy nếu ngay từ đầu ta bình phương thì hoàn toàn sai mà tốt nhất nên chia trường hợp để giải.
Edited by hoangtrong2305, 22-11-2012 - 23:15.
- bugatti, no matter what, Khanh 6c Hoang Liet and 2 others like this
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
#4
Posted 22-11-2012 - 23:15
Bài 6: Diễn đàn Boxmath - Lần 1 $$\left\{ \begin{array}{1}3x^2-2x-5+2x\sqrt{x^2+1}=2(y+1)\sqrt{y^2+2y+2}\\x^2+2y^2=2x-4y+3\end{array} \right.$$
Ta sẽ sử dụng pp hàm số
Trừ 2 pt theo vế rồi rút gọn, ta được pt
$x^2+x\sqrt{x^2+1}=(y+1)^2+(y+1)\sqrt{(y+1)^2+1}$
Xét hàm $f(t)=t^2+t\sqrt{t^2+1}$ có $f'(t)=2t+\frac{2t^2+1}{\sqrt{t^2+1}} \geq 2t + |2t| > 0$ (BĐT Cauchy)
$\Rightarrow$ hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mà $f(x)=f(y+1) \Leftrightarrow x=y+1$ thay vào tìm được
\[\left\{ \begin{array}{l}
x =- 1 \\
y =- 2 \\
\end{array} \right.v\left\{ \begin{array}{l}
x =\frac{2}{3} \\
y =\frac{5}{3} \\
\end{array} \right.\]
Edited by longqnh, 22-11-2012 - 23:21.
- hoangtrong2305, Nxb, leminhansp and 7 others like this
SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG
#5
Posted 23-11-2012 - 17:39
Bài 8: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{xy})^{2}=9 & \\ (x^{3}+y^{3})(1+\frac{1}{xy})^{3}=8 & \end{matrix}\right.$
(Đề thi thử Đại học Trường THPT Long Chiêu Sa-Phú Thọ)
mod: bạn ghi rõ số bài vào nhé
Edited by Ispectorgadget, 24-11-2012 - 08:35.
- no matter what likes this
#6
Posted 23-11-2012 - 21:46
Lời giải bài 1:Bài 1: Diễn đàn Math4vn - Đề số 1 $$2\left( \sqrt{x-2}+3\right) \sqrt[3]{2(x+2)\sqrt{x-2}+2(3x-2)}=7\sqrt{x-2}+12.$$
$Đkxđ: x\geq 2$
Từ đó ta có bất đẳng thức sau:
$$VP=VT\geq 4(\sqrt{x-2}+3).(\sqrt{x-2}+1)^{\frac{1}{3}}$$
Cho $t=(\sqrt{x-2}+1)^{\frac{1}{3}}(t\geq 1)$, bất đẳng thức trên tương đương với:
$$4t^4-7t^3+8t-5 \leq 0
\Leftrightarrow (t-1)(4t^3-3t^2-3t+5) \leq 0$$
Lập bảng biến thiên, ta suy ra được $4t^3-3t^2-3t+5 > 0$, từ đó ta có $t \leq 1$, như vậy $t=1$ hay $x=2$
____
Nhớ trích dẫn lại bài nhé bạn
Edited by Ispectorgadget, 24-11-2012 - 08:35.
#7
Posted 24-11-2012 - 08:38
Đề thi thử trường dân lập Nguyễn Khuyến - TPHCM - Phần chung
Bài 10: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2}y + {y^3} = 2{x^4} + {x^6}\\
\left( {x + 2} \right)\sqrt {y + 1} = {\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\]
Đề thi thử trường dân lập Nguyễn Khuyến - TPHCM - Phần chung
Bài 11: Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm \[3\sqrt {{5^x} - 4} + \sqrt {{5^x} + 4} = m\sqrt[4]{{{{25}^x} - 16}}\]
Đề thi thử trường dân lập Nguyễn Khuyến - TPHCM - Phần riêng
Bài 12: Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
(6 - x)({x^2} + {y^2}) = 6x + 8y\\
(3 - y)({x^2} + {y^2}) = 8x - 6y
\end{array} \right.\]
Thử sức trước kì thi THTT lần 2
Edited by Ispectorgadget, 24-11-2012 - 08:43.
- quoctruong1202, thienlonghoangde, Zaraki and 5 others like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#8
Posted 24-11-2012 - 10:03
2{x^2}y + {y^3} = 2{x^4} + {x^6}(1)\\
\left( {x + 2} \right)\sqrt {y + 1} = {\left( {x + 1} \right)^2}(2)
\end{array} \right.\]
Đề thi thử trường dân lập Nguyễn Khuyến - TPHCM - Phần chung
Lời giải:
Phương trình (1) tương đương với:
$$2x^2.(x^2-y)+(x^6-y^3)=0$$
hay
$$x^2=y$$
Do đó, phương trình (2) trở thành:
$$(x+2)\sqrt{y+1}=y+1+2x$$
tương đương với:
$$(\sqrt{y+1}-2)(\sqrt{y+1}-x)=0$$
$$\Leftrightarrow y=3 \vee y+1=x^2$$(vô lí vì $y=x^2$)
Vây phương trình có nghiệm $x=\pm \sqrt{3}; y=3$
Edited by Nxb, 24-11-2012 - 10:08.
- Zaraki, leminhansp, Spin9x and 4 others like this
#9
Posted 25-11-2012 - 08:37
Với bài này tư tưởng đơn giản là nhân chéo hết lên.Bài 12: Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
(6 - x)({x^2} + {y^2}) = 6x + 8y\\
(3 - y)({x^2} + {y^2}) = 8x - 6y
\end{array} \right.\]
Thử sức trước kì thi THTT lần 2
Sẽ xảy ra 2 trường hợp :
$\bullet$ $x^2+y^2=0 \Leftrightarrow x=y=0$ ( thỏa mãn )
$\bullet$ $(6-x)(8x-6y)=(6x+8y)(3-y)$
$$\Leftrightarrow 2(2x^2-3xy-2y^2)-15(x-2y)=0$$
$$\Leftrightarrow (x-2y)(2(2x+y)-15)=0$$
Xảy ra 2 trường hợp :
+ nếu $x=2y$ thế vào $(1)$ được $(6-2y)5y^2=20y$
Giải ra được các nghiệm : $(1;2),(2;4),(0,0)$
+ nếu $y= \dfrac{15}{2}-2x$ thế vào $(2)$ được $$(4x-9)(x^2+(\dfrac{15}{2}-2x)^2-10)=0$$
với $x=\dfrac{9}{4}$ thì $ y= \dfrac{21}{4}$
với $x^2+(\dfrac{15}{2}-2x)^2-10=0$
tương đương với : $4(x-3)^2+1=0$ vô nghiệm .
Vậy hệ có các nghiệm : $(0,0),(1;2),(2;5),(\dfrac{21}{4};\dfrac{9}{4})$
- hoangtrong2305, Zaraki, NGOCTIEN_A1_DQH and 7 others like this
Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net
#10
Posted 25-11-2012 - 18:16
Bài 14: Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{c}\log _{2x}\frac{y^3-7x^3}{2}+\log _{\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{2x-y}}=2\\ \frac{y^3+4y-2x\left( 1+6y^2\right) }{x^2}=6x-11y \end{array}\right.$$
Diễn đàn Truonghocso - Đề số 4
Edited by leminhansp, 27-11-2012 - 02:12.
- no matter what likes this
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#11
Posted 25-11-2012 - 23:58
Bài 8: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{xy})^{2}=9 & \\ (x^{3}+y^{3})(1+\frac{1}{xy})^{3}=8 & \end{matrix}\right.$
Bài này nghiệm chắc chắn là nghiệm vô tỉ
Mình có một hướng đi thế này, nhưng không đến kết quả có lẽ nó phải có hướng đi khác hoặc phải xem lại đề bài
Mình cứ nói hướng của mình để mọi người cùng bài luận nhé, khi đã có kết quả nó sẽ được di chuyển đến thùng rác
Biến đổi được hệ phương trình tương đương
$\left\{ \begin{array}{c} x^2\left( 1+\frac{1}{xy}\right) ^2+y^2\left( 1+\frac{1}{xy}\right) ^2=9\\ x^3\left( 1+\frac{1}{xy}\right) ^3+y^3\left( 1+\frac{1}{xy}\right) ^3=8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left( x+\frac{1}{y}\right) ^2+\left( y+\frac{1}{x}\right) ^2=9 \\ \left( x+\frac{1}{y}\right) ^3+\left( y+\frac{1}{x}\right) ^3=8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} u^2+v^2=9 \\u^3+v^3=8 \end{array} \right.$
Trong đó: $\left\{ \begin{array}{l} u=\left( x+\frac{1}{y}\right) \\ v=\left( y+\frac{1}{x}\right) \end{array}\right.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u+v=S\\uv=P \end{array}\right.$
Ta được phương trình: $$S^3-27S+16=0$$ Phương trình này thì
- quynx2705, Mai Duc Khai, no matter what and 4 others like this
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#12
Posted 26-11-2012 - 00:49
Bài 11: Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm \[3\sqrt {{5^x} - 4} + \sqrt {{5^x} + 4} = m\sqrt[4]{{{{25}^x} - 16}}\]
Đề thi thử trường dân lập Nguyễn Khuyến - TPHCM - Phần riêng
Không biết bài này hợp với topic không? Có
Nhận thấy có dạng phương trình đẳng cấp.
Điều kiện: $5^x\ge 4$ $$(1)\Leftrightarrow 3\sqrt{\frac{5^x-4}{5^x+4}}+1=m\sqrt[4]{\frac{5^x-4}{5^x+4}}\quad (*)$$ Đặt $\sqrt[4]{\frac{5^x-4}{5^x+4}}=t$
Xét hàm: $f(u)=\frac{u-4}{u+4}$ với $u\ge 4$
$f'(u)=\frac{8}{(u+4)^2}>0, \forall u\ge 4$ $\Rightarrow f(u)\ge f(4)=0\Rightarrow t=\sqrt[4]{f\left( 5^x\right)}\ge 0$
$(*)$ trở thành: $3t^2-mt+1=0\quad (**)$
Để phương trình $(1)$ có nghiệm thì $(**)$ phải có nghiệm không âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ S\ge 0\\ P\ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m\ge \sqrt{12}$
Edited by leminhansp, 10-12-2012 - 19:07.
- quynx2705, hoangtrong2305, donghaidhtt and 3 others like this
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#13
Posted 26-11-2012 - 12:53
Bài 13: $$x^2-3x+3\ge \left( 4+3x-\dfrac{4}{x}\right) \sqrt{x-1}$$ Diễn đàn Truonghocso - Đề số 4
Đề đúng là như thế này !
$$\text{Giải}$$
Điều kiện $ x \geq 1$
Ta biến đổi
$$x^2-3x+3 \geq \left ( 4+3x-\frac{4}{x} \right )\sqrt{x-1} \\ \Longleftrightarrow \left ( x^2-16x+16 \right )- \sqrt{x-1}\left [ 13\sqrt{x-1}-4-3x+\frac{4}{x} \right ] \geq 0 \\ \Longleftrightarrow \left ( x^2-16x+16 \right )-\frac{\sqrt{x-1}}{x}\left ( 13\sqrt{x^3-x^2}-4x-3x^2+4 \right ) \geq 0 \\ \Longleftrightarrow \left ( x^2-16x+16 \right )-\frac{\sqrt{x-1}}{x}\left [ 13\sqrt{x^3-x^2}-\left ( 3x^2+4x-4 \right ) \right ] \geq 0 \\ \Longleftrightarrow \left ( x^2-16x+16 \right )+\frac{\sqrt{x-1}\left ( x^2-16x+16 \right )\left ( 9x^2-x+1 \right )}{13\sqrt{x^3-x^2}+\left ( 3x^2+4x-4 \right )} \geq 0 $$
Điều này
$$\Longleftrightarrow \left ( x^2-16x+16 \right )\left [ 1+\frac{\sqrt{x-1}\left ( 9x^2-x+1 \right )}{13\sqrt{x^3-x^2}+(3x^2+4x-4)} \right ] \geq 0 $$
Do điều kiện $x \geq 1 $ nên dễ có $3x^2+4x-4 >0$ và $9x^2-x+1>0$, vì vậy bất phương trình tương đương với
$$\left\{\begin{matrix}
x^2-16x+16 \geq 0 \\ \\ x \geq 1
\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow 1 \leq x \leq 8-4\sqrt{3} \ \ \vee x \geq 8+4\sqrt{3} $$
Vậy $S=\left [ 1 ; 8-4\sqrt{3} \right ] \cup \left [ 8+4\sqrt{3}; +\infty \right ]$.$\blacksquare$
Edited by luxubuhl, 26-11-2012 - 21:15.
- leminhansp, no matter what, phung0907 and 3 others like this
#14
Posted 26-11-2012 - 18:10
Bài 5: Diễn đàn Truonghocso - Đề số 1 $$\dfrac{x\left( 4x^2+9x+6\right) }{\sqrt[3]{x\left( 4x^2+3x+2\right) +1}-1}\ge 1$$
Giải
Biến đổi
$$\frac{x\left ( 4x^2+9x+6 \right )}{\sqrt[3]{x\left ( 4x^2+3x+2 \right )+1}-1} \geq 1\Leftrightarrow \frac{4x^3+3(3x+2)x}{\sqrt[3]{4x^3+(3x+2)x+1}-1} \geq 1$$
Đặt
$\sqrt[3]{4x^3+(3x+2)x+1} =k$
Được
$$BPT \Leftrightarrow \frac{k^3-1}{k-1} \geq 1 \Leftrightarrow k \geq 0 \, \, \vee \, \, k \leq -1$$
Phần còn lại chỉ cần trả lại ẩn ban đầu là xong
Edited by luxubuhl, 26-11-2012 - 18:12.
- leminhansp, Spin9x and no matter what like this
#15
Posted 26-11-2012 - 18:30
Bài 2: Diễn đàn Onluyentoan - Đề số 1 $$4\left( \sqrt{x+1}-3\right) x^2+\left( 13\sqrt{x+1}-8\right) x-4\sqrt{x-1}-3=0$$
Bài cuối cùng còn sót
Giải
$$\text{PT}\Leftrightarrow 4x^2\sqrt{x+1}-12x^2+13x\sqrt{x+1}-8x-4\sqrt{x-1}-3=0 \\ \Leftrightarrow \left ( 1-4\sqrt{x-1}+4(x-1) \right )+x\sqrt{x+1}\left ( 4x+13-12\sqrt{x+1} \right )=0 \\ \Leftrightarrow \left ( 1-2\sqrt{x-1} \right )^2+x\sqrt{x+1}\left ( 2\sqrt{x+1}-3 \right )^2=0 \\ \Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$$.
$\blacksquare$
Nhận xét: Theo mình thì bài này quá khó với một kì thi đại học chỉ có 15p cho một bài, từ hình thức, ý tưởng, nó phù hợp hơn với kì thi HSG.
Hướng giải của mình khi gặp bài này: trước hết là nhẩm nghiệm, cái này là thói quen khó bỏ rồi Tiếp theo có thể để ý đến các căn thức, đặc biệt là đại lượng $4\sqrt{x-1}$, các đại lượng có liên hệ với nhau, để ý rằng $4(x+1)-3.2.2\sqrt{x+1}+9 = 4x+13-12\sqrt{x+1}$, đây chính là đại lượng đề cho trong bài, từ đây ta thử đi theo hướng phân tích thành tổng bình phương và thành công
Edited by luxubuhl, 26-11-2012 - 18:36.
- Mai Duc Khai, leminhansp, Spin9x and 10 others like this
#16
Posted 26-11-2012 - 19:32
Bài 9: Giải phương trình \[{\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3}\]
Đề thi thử trường dân lập Nguyễn Khuyến - TPHCM - Phần chung
Nhận xét: các cơ số đều có dạng lũy thừa của 2 nên ta sẽ đưa về PT cùng cơ số để giải:
điều kiện $ x \in [-4;4] $
$ PT \Leftrightarrow \frac{1}{2}log_2(x+1)^2+\frac{1}{2}log_216=2log_2\sqrt{4-x}+\frac{1}{3}log_2(4+x)^3 $
$ \Leftrightarrow log_2(4x+4)^2=log_2(16-x^2)^2 $
$ \Leftrightarrow (4x+4)^2=(16-x^2)^2$
$ \Leftrightarrow 4x+4=16-x^2 \vee 4x+4=x^2-16$
tới đây chỉ việc giải PT bậc 2 và đối chiếu với điều kiện ta thu được 2 nghiệm là $ x=2 $ và $ x=2-\sqrt{24} $
- T M likes this
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#17
Posted 26-11-2012 - 21:51
$\frac{x\left ( 4x^2+9x+6 \right )}{\sqrt[3]{x\left ( 4x^2+3x+2 \right )+1}-1} \geq 1\Leftrightarrow$ $\frac{4x^3+3(3x+2)x}{\sqrt[3]{4x^3+(3x+2)x+1}-1}$ $\geq 1$$
Đặt
$\sqrt[3]{4x^3+(3x+2)x+1} =k$
Được
$BPT \Leftrightarrow$ $\frac{k^3-1}{k-1}$ $\geq 1 \Leftrightarrow k \geq 0 \, \, \vee \, \, k \leq -1$
Phần còn lại chỉ cần trả lại ẩn ban đầu là xong
Hình như có nhầm lẫn
Edited by leminhansp, 26-11-2012 - 21:53.
- NGOCTIEN_A1_DQH, T M, NTHMyDream and 1 other like this
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#18
Posted 27-11-2012 - 00:17
Bài 16: Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}
\log _5\left( 5^x-4\right)=1-2y\\ x^3-2y=\left( x^2-x\right) (2y+1)
\end{matrix}\right.$$ Diễn đàn K2pi - Đề số 4 - Phần riêng
Edited by leminhansp, 27-11-2012 - 00:34.
- bugatti and Bui Ba Anh like this
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#19
Posted 27-11-2012 - 01:59
Bài 3: Diễn đàn K2pi - Đề số 3 - Phần riêng $$\dfrac{\sqrt{2+3^{2x}}}{\sqrt{2+3^{2x}}-\sqrt{2-3^{2x}}}+\dfrac{3^{4x}+\sqrt{4-3^{4x}}-7}{3^{2x}}\ge\dfrac{3^{2x}-2}{\sqrt{4-3^{4x}}-2+3^{2x}}$$
Để dễ nhìn ta đặt $3^{2x}=t\quad (0<t<2)$
Bất phương trình trở thành:$$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2+t}}{\sqrt{2+t}-\sqrt{2-t}}+\dfrac{t^2+\sqrt{4-t^2}-7}{t}\ge\dfrac{t-2}{\sqrt{4-t^2}-2+t}$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2+t}}{\sqrt{2+t}-\sqrt{2-t}}+\dfrac{t^2+\sqrt{4-t^2}-7}{t}\ge-\dfrac{\sqrt{2-t}}{\sqrt{2+t}-\sqrt{2-t}}$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2+t}}{\sqrt{2+t}-\sqrt{2-t}}+\dfrac{\sqrt{2-t}}{\sqrt{2+t}-\sqrt{2-t}}\ge \dfrac{-t^2-\sqrt{4-t^2}+7}{t}$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{4+2\sqrt{4-t^2}}{2t}\ge\dfrac{-t^2-\sqrt{4-t^2}+7}{t}$$ $$\Leftrightarrow 2+\sqrt{4-t^2}\ge-t^2-\sqrt{4-t^2}+7$$ Đặt $\sqrt{4-t^2}=u$
Ta được: $$2+u\ge u^2-u+3\Leftrightarrow u=1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$$
Edited by leminhansp, 27-11-2012 - 12:55.
- donghaidhtt, bugatti, phung0907 and 1 other like this
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#20
Posted 28-11-2012 - 19:46
$\left\{\begin{matrix}\frac{x-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=2 & \\ \frac{y-x\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=\frac{7}{4} & \end{matrix}\right.$
(Đề thi thử Đại học THPT Long Chiêu Sa - Phú Thọ - Lần II)
Edited by thanhdatpro16, 28-11-2012 - 20:07.
- tututhoi, dhdhn and Bui Ba Anh like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users