Chủ đề này có 3 trả lời

[dactai10a1]

Có bao nhiêu hoán vị $({a_1};{a_2};...{a_{4024}})$ của (1,2,...4024) thỏa $\left| {{a_1} - 1} \right| = \left| {{a_2} - 2} \right| = ... = \left| {{a_{4024}} - 4024} \right| > 0$

[gogo123]

Cuối cùng cũng làm được bài tổng quát, chắc là sai sót vài chỗ không đáng kể.

Không xét TH $a_i=i$, và chỉ xét TH số đang xét là số chẵn, tức là chỉ làm việc trên bộ $(1;2;...;2n)$
Đặt $d=\left | a_i-i \right | >0$.
Ta thấy $a_i=i+d$ hoặc $a_i=i-d$.
Suy ra 2 kết quả sau:
Nhận xét 1. $(a_i-i)(a_{i+2d}-(i+2d))>0$
GIả sử ngược lại thì $a_i=a_{i+2d}$, vô lí.
Nhận xét 2. $1\leq d\leq n$.
Thật vậy xét $a_n$ hoặc bằng $n+d$ hoặc bằng $n-d$ nên suy ra $n+d\leq 2n$ hoặc $n-d \geq 1$.Suy ra kết quả ở trên.

Theo nhận xét 1 ta có nếu $a_i=i+(-1)^{a}.d$ thì với mọi $j\equiv i$ $(mod$ $2d)$ thì $a_j=j+(-1)^{a}.d$.
Như vậy với mỗi $d$ ta chia tập ${1;2;...;2n}$ thành các tập rời rạc đồng dư nhau modun $2d$ , khi đó các phần tử cùng một tập thì có chung dấu trước $d$ (là $-$ hay $+$)
Với mỗi $d$ thì $a_i=i+d$ với mọi $1\leq i\leq d$ vì nếu ngược lại thì có $a_i<0$ là điều vô lí,và $a_i=i-d$ với mọi $d+1\leq i\leq 2d$ vì nếu ngược lại thì tập $a_i$ không chứa các phần tử ${1;2;...;d}$,vô lí.
Vậy với mỗi $d$ chỉ có đúng một hoán vị thõa mãn.
Mặt khác theo nhận xét 2 thì $d \in {1;2;...;n}$ thõa mãn.Cộng thêm TH hoán vị đồng nhất ta đã không xét.
Vậy có tất cả $n+1$ hoán vị thõa mãn. (Chú ý ta đang xét TH tập ${1;2;...;2n}$ )


Đáp án tổng quát: $\left [\frac{n}{2} \right ]+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogo123: 07-12-2012 - 22:30

[Trungpbc]

Cuối cùng cũng làm được bài tổng quát, chắc là sai sót vài chỗ không đáng kể.

Không xét TH $a_i=i$, và chỉ xét TH số đang xét là số chẵn, tức là chỉ làm việc trên bộ $(1;2;...;2n)$
Đặt $d=\left | a_i-i \right | >0$.
Ta thấy $a_i=i+d$ hoặc $a_i=i-d$.
Suy ra 2 kết quả sau:
Nhận xét 1. $(a_i-i)(a_{i+2d}-(i+2d))>0$
GIả sử ngược lại thì $a_i=a_{i+2d}$, vô lí.
Nhận xét 2. $1\leq d\leq n$.
Thật vậy xét $a_n$ hoặc bằng $n+d$ hoặc bằng $n-d$ nên suy ra $n+d\leq 2n$ hoặc $n-d \geq 1$.Suy ra kết quả ở trên.

Theo nhận xét 1 ta có nếu $a_i=i+(-1)^{a}.d$ thì với mọi $j\equiv i$ $(mod$ $2d)$ thì $a_j=j+(-1)^{a}.d$.
Như vậy với mỗi $d$ ta chia tập ${1;2;...;2n}$ thành các tập rời rạc đồng dư nhau modun $2d$ , khi đó các phần tử cùng một tập thì có chung dấu trước $d$ (là $-$ hay $+$)
Với mỗi $d$ thì $a_i=i+d$ với mọi $1\leq i\leq d$ vì nếu ngược lại thì có $a_i<0$ là điều vô lí,và $a_i=i-d$ với mọi $d+1\leq i\leq 2d$ vì nếu ngược lại thì tập $a_i$ không chứa các phần tử ${1;2;...;d}$,vô lí.
Vậy với mỗi $d$ chỉ có đúng một hoán vị thõa mãn.
Mặt khác theo nhận xét 2 thì $d \in {1;2;...;n}$ thõa mãn.Cộng thêm TH hoán vị đồng nhất ta đã không xét.
Vậy có tất cả $n+1$ hoán vị thõa mãn. (Chú ý ta đang xét TH tập ${1;2;...;2n}$ )


Đáp án tổng quát: $\left [\frac{n}{2} \right ]+1$

Mình thấy đấp số này chưa đúng, chẳng hạn với kết quả tổng quát, cho $n=3$ thì ta chỉ có hoán vị tầm thường $a_{i}=i$ thỏa mãn. Trường hợp tổng quát, mình làm được số các hoán vị thỏa mãn tính chất là $1+d(\frac{n}{2})$ nếu $n$ chẵn và $1$ nếu $n$ lẻ, ở đây $d(m)$ là hàm tính số các ước nguyên dương của $m$

[gogo123]

Hôm đó muốn ngủ, cũng "chém" kết quả tổng quát thôi. Sai thật. .Trình bày tổng quát luôn đi trung.

trungpbc: Online không? Hỏi lại đề cái tí.