Cho tam giác ABC đều cạnh a, có AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của AC;gọi K là trung điểm của AH; gọi Q là điểm đối xứng của H qua M. Gọi N là điểm đối xứng của K qua H.
1. C/m: AQCH là hình chữ nhật?
2. C/m: KQCN là hình bình hành?
3. C/m: BNCK là hình thoi?
4. Tứ giác BQCN là hình gì?
5. C/m: K là trung điểm của BQ (B;K;Q thẳng hàng?)
6. Tính độ dài BQ theo a?
Giải giúp em câu 5 và câu 6 nhak
1. Xét tứ giác $AQCH$, ta có:
$AM=CM=\frac{1}{2}AM$ (gt)
$QM=HM=\frac{1}{2}QH$ (Q đối xứng với H qua M)
Nên tứ giác $AQCH$ là hình bình hành.
Lại có $\widehat{AHC}=90^{\circ}$ $(AH\perp BC)$
Nên tứ giác $AQCH$ là hình chữ nhật. (đpcm)
2. Vì $AQCH$ là hình chữ nhật (cmt) nên $AH//QC$ và $AH=QC$
Ta có: $KH=\frac{1}{2}AH$ (gt)
mà $NH=KH$ (N đối xứng với K qua H)
nên $NH=\frac{1}{2}AH$
Do đó: $NH+KH=AH$
$KN=AH$
Lại có: $AH=QC$ (cmt) nên $KN=QC$.
Xét tứ giác $KQCN$, ta có:
$KN//QC$ $(AH//QC)$
$KN=QC$ (cmt)
Nên tứ giác $KQCN$ là hình bình hành. (đpcm)
3. Tam giác $ABC$ đều nên đường cao $AH$ cũng là đường trung tuyến.
Do đó: $BH=CH=\frac{1}{2}BC$
Lại có: $NH=KH=\frac{1}{2}KN$ (N đối xứng với K qua H)
Nên tứ giác $BNCK$ là hình bình hành.
Mặt khác $KN\perp BC$ $(AH\perp BC)$
Nên tứ giác $BNCK$ là hình thoi. (đpcm)
4. Vì $KQCN$ là hình bình hành nên $KQ//NC$
Vì $BNCK$ là hình thoi nên $KB//NC$
Do đó 3 điểm $B,K,Q$ thẳng hàng.
$\Rightarrow$ $BQ//CN$
Vậy tứ giác $BQCN$ là hình thang.
5. Vì $KQCN$ là hình bình hành nên $KQ=NC$
Vì $BNCK$ là hình thoi nên $KB=NC$
Do đó: $BK=QK$
Mà 3 điểm $B,K,Q$ thẳng hàng (cmt)
Nên $K$ là trung điểm $BQ$ (đpcm)
6. Ta có: $BH=CH=\frac{1}{2}BC$ (cmt)
Mà $BC=a$ nên $BH=CH=\frac{a}{2}$
Xét tam giác $AHC,\widehat{AHC}=90^{\circ}$, ta có:
$AH^2=AC^2-HC^2=a^2-(\frac{a}{2})^2$
Mà $QC=AH$ (cmt) nên $QC^2=a^2-\frac{a}{2}^2$
Xét tam giác $BQC,\widehat{BCQ}=90^{\circ}$, ta có:
$BQ^2=BC^2+QC^2=a^2+a^2-(\frac{a}{2})^2=2a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{7a^2}{4}$
Do đó: $BQ=\sqrt{\frac{7a^2}{4}}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 23-11-2012 - 09:59
