Bài toán: Với $0 \le s \le k \le n$ là các số nguyên dương,chứng minh rằng:
$$\sum_{t=0}^{n}\binom{t}{s}\binom{n-t}{k-s}=\binom{n+1}{k+1}$$
Lời giải: Của gogo123
Bài này vắn tắt cách làm như sau:
Ta có:
$\sum_{t=0}^{n}\binom{t}{s}\binom{n-t}{k-s}$ chính là hệ số của $x^n$ trong khai triển của hàm $$f(x)=\left (\sum_{t=0}^{\infty }\binom{t}{s}x^t \right )\left (\sum_{t=0}^{\infty }\binom{t}{k-s}x^t \right )$$
Mặt khác ta có:
$\sum_{t=0}^{\infty }\binom{t}{s}x^t=x^s.\sum_{t=0}^{\infty }\binom{t}{t-s}x^{t-s}=x^s.\frac{1}{(1-x)^{s+1}}$
và
$\sum_{t=0}^{\infty }\binom{t}{k-s}x^t=x^{k-s}.\sum_{t=0}^{\infty }\binom{t}{t-k+s}x^{t-k+s}=x^{k-s}.\frac{1}{(1-x)^{k-s+1}}$
nên
$f(x)=\frac{x^k}{(1-x)^{k+2}}=x^k.\left ( \sum_{i=0}^{\infty }\binom{k+1+i}{i}.x^i \right )$
Suy ra hệ số của $x^n$ trong khai triển $f(x)$ là $\binom{k+1+n-k}{n-k}=\binom{n+1}{k+1}$.Ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-01-2013 - 14:02
