Chứng minh giới hạn $lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=0$
Giúp dùm mình. Thanks!
Chứng minh giới hạn $lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=0$
Bắt đầu bởi thpthang, 23-11-2012 - 15:19
#1
Đã gửi 23-11-2012 - 15:19
#2
Đã gửi 23-11-2012 - 16:39
Có lẽ bạn đã nhầm đề rồi $\lim \frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = e$ mới đúng
Để giải bài này rất dài bạn và ta phải chứng minh nhiều bài toán phụ nữa.
Các bài toán phụ bạn có thể tự nghiên cứu thêm chứ mình không chứng minh ở đây (vì quá dài )
"Nếu ${x_n} > 0$ thì $\lim \sqrt[n]{{{x_n}}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}}$"
* Bài toán:
ta có $\frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}} = \sqrt[n]{{{x_n}}}$
Với ${x_n} = \frac{{{n^n}}}{{n!}}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \lim \frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = \lim \sqrt[n]{{{x_n}}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}} \\
= \lim \left[ {\frac{{{n^n}}}{{n!}}.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^{\left( {n - 1} \right)}}}}} \right] = \lim \left[ {\frac{{{n^n}}}{{n.{{\left( {n - 1} \right)}^n}.{{\left( {n - 1} \right)}^{ - 1}}}}} \right] \\
= Lim\left[ {\frac{{n - 1}}{n}.{{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)}^n}} \right] = Lim\left[ {{{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)}^{ - 1}}.{{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)}^n}} \right] \\
= Lim{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = Lim{\left( {\frac{{n - 1 + 1}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = Lim{\left( {1 + \frac{1}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = e \\
\end{array}$
Để giải bài này rất dài bạn và ta phải chứng minh nhiều bài toán phụ nữa.
Các bài toán phụ bạn có thể tự nghiên cứu thêm chứ mình không chứng minh ở đây (vì quá dài )
"Nếu ${x_n} > 0$ thì $\lim \sqrt[n]{{{x_n}}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}}$"
* Bài toán:
ta có $\frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}} = \sqrt[n]{{{x_n}}}$
Với ${x_n} = \frac{{{n^n}}}{{n!}}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \lim \frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = \lim \sqrt[n]{{{x_n}}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}} \\
= \lim \left[ {\frac{{{n^n}}}{{n!}}.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^{\left( {n - 1} \right)}}}}} \right] = \lim \left[ {\frac{{{n^n}}}{{n.{{\left( {n - 1} \right)}^n}.{{\left( {n - 1} \right)}^{ - 1}}}}} \right] \\
= Lim\left[ {\frac{{n - 1}}{n}.{{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)}^n}} \right] = Lim\left[ {{{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)}^{ - 1}}.{{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)}^n}} \right] \\
= Lim{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = Lim{\left( {\frac{{n - 1 + 1}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = Lim{\left( {1 + \frac{1}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = e \\
\end{array}$
- dark templar, funcalys, Mrnhan và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 23-11-2012 - 17:38
Giới hạn đúng phải là $e$ như anh vantho302 đã nêu. Mình sẽ trình bày cách giải bằng nguyên lý kẹp:Chứng minh giới hạn $lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=0$
Ta có 1 BĐT cơ bản sau:
$$\ln{x} \le \int_{x}^{x+1}\ln{t}dt \le \ln{(x+1)};\forall x>0$$
Bây giờ ta áp dụng BĐT này với $x$ chạy từ 1 đến $n-1$,ta sẽ thu được:
$$\ln{1}+\ln{2}+...+\ln{(n-1} \le \int_{1}^{2}\ln{t}dt+...+\int_{n-1}^{n}\ln{t}dt \le \ln{2}+...+\ln{n}$$
Hay:
$$\ln{(n-1)!} \le \int_{1}^{n}\ln{t}dt \le \ln{n!}$$
Dễ dàng có:$\int_{1}^{n}\ln{t}dt=\left(t\ln{t}-t \right)\Bigg|_{1}^{n}=n\ln{n}-n+1=\ln{\left[\left(\frac{n}{e} \right)^{n}.e \right]}$.
Từ đây ta có:
$$(n-1)! \le \frac{n^{n}}{e^{n-1}} \le n! \iff \frac{e}{\sqrt[n]{ne}} \le \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \le \frac{e}{\sqrt[n]{e}}$$
Ta có:$\lim_{n \to \infty}\frac{e}{\sqrt[n]{ne}}=\lim_{n \to \infty}\frac{e}{\sqrt[n]{e}}=e$ nên theo nguyên lý kẹp,ta sẽ có:$\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$.
P/s:Bài này mình đã từng post trên diễn đàn lâu rồi,trong phần Giải tích THPT
- vantho302, namcpnh, funcalys và 3 người khác yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh