Chủ đề này có 5 trả lời

[Joker9999]

Thêm 1 bài nữa cho vui
Bài toán
Xác định tất cả các số nguyên dương (a,b) sao cho $a+b^2$ chia hết cho $a^2b-1$

[nguyenta98]

Thêm 1 bài nữa cho vui
Bài toán
Xác định tất cả các số nguyên dương (a,b) sao cho $a+b^2$ chia hết cho $a^2b-1$

Giải như sau:
TH1: $a\le b$
$a+b^2 \vdots a^2b-1 \Rightarrow a^3+b^2a^2 \vdots a^2b-1 \Rightarrow a^3+a+b^2a^2-a \vdots ab^2-1 \Rightarrow a^3+a \vdots ab^2-1 \Rightarrow a(a^2+1) \vdots ab^2-1 \Rightarrow a^2+1 \vdots ab^2-1$ (do $gcd(a,ab^2-1)=1$)
Suy ra $a^2+1\geq ab^2-1 \Rightarrow a^2+2\geq ab^2 \Rightarrow a^2+2\geq b^2$ (do $a\geq 1$) mà $a\le b$ nên $a=b$ vì nếu $a=b-k$ với $b>k>0$ thì $(b-k)^2+2\geq b^2 \Rightarrow b^2-2bk+k^2+2\geq b^2 \Rightarrow k^2+2\geq 2bk>2k^2$ (do $b>k$) khi ấy $k^2\le 2$ nên $k=1$ khi ấy $a=b-1$ ta có $(b-1)^2+2\geq b^2 \Rightarrow 3\geq 2b \Rightarrow b=1$ (do $b$ dương) nên $a=0$ vô lí, như vậy $a=b$ do đó $a+a^2 \vdots a^3-1 \Rightarrow a(a+1) \vdots a^3-1$ mà $gcd(a,a^3-1)=1 \Rightarrow a+1 \vdots a^3-1 \Rightarrow a+1\geq a^3-1 \Rightarrow a+2\geq a^3$ với $a\geq 2$ ta cm dễ dàng $f(a)=a^3-a-2$ đồng biến trên $[2,\infty$ nên $f(a)\geq f(2)>0$ do đó $a^3>a+2$ suy ra vô lí do đó $a=1$ khi ấy $a=b=1$ nên $a+b^2 \vdots 0$ vô lí
TH2: $a>b$ khi ấy $a+b^2 \vdots a^2b-1 \Rightarrow a+b^2 \vdots a(ab)-1 \Rightarrow a+b^2\geq a(ab)-1>ab^2-1$ (do $a>b$)
Như vậy $a+b^2\geq ab^2-1 \Rightarrow 2\geq (a-1)(b^2-1)$ suy ra $(a-1)(b^2-1)=0,1,2$
Nếu $(a-1)(b^2-1)=0 \Rightarrow a=1$ hoặc $b=1$ với $a=1$ thì $b^2+1 \vdots b-1 \Rightarrow b^2-1+2 \vdots b-1 \Rightarrow 2 \vdots b-1$ nên $b-1=1,2 \Rightarrow b=2,3$ còn nếu $b=1$ thì $a+1 \vdots a-1 \Rightarrow 2 \vdots a-1$ nên $a=2,3$
Nếu $(a-1)(b^2-1)=1 \Rightarrow b^2-1=1 \Rightarrow b^2=2$ vô lí
Nếu $(a-1)(b^2-1)=3$ thì $b^2-1=1,3$ chọn $b^2-1=3 \Rightarrow b=2$ khi ấy $a-1=1 \Rightarrow a=2$ thay vào ta có $2+2^2 \vdots 2^3-1$ dễ loại
Vậy $\boxed{(a,b)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}$
--------------
Hình như $3;1$ loại Nguyên à

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 23-11-2012 - 21:37

[khong la gi ca]

Xác định tất cả các số nguyên dương (a,b) sao cho $a+b^2$ chia hết cho $a^2b-1$

Theo đề bài $a+b^{2} \vdots a^{2}b - 1$
$\Rightarrow$ $\exists$ $k\in$ $\mathbb{N}^{*}$ : $a+b^{2} = k \left ( a^{2}b - 1 \right )$
$\Leftrightarrow a + k = b(ka^{2} - b)$
Đặt $m = ka^{2} - b ( m \in \mathbb{Z} )$ thì ta được $a + k = mb$
Mặt khác do $a, k, b \in \mathbb{N}^{*}$ nên cho ta $m \in \mathbb{N}^{*}$

Từ đó ta có:
$(m - 1)(b - 1) = mb - m - b + 1 = a + k - ka^{2} + 1 = (a+1)(k - ka + 1)$

Vì $m, b\in \mathbb{N}^{*}$ nên $(m - 1)(b - 1) \geq 0$
$\Rightarrow (a+1)(k - ka + 1) \geq 0 \Rightarrow (k - ka + 1) \geq 0$
$\Rightarrow 1 \geq k(a - 1)$
Lúc này vì $k, a\in \mathbb{N}^{*}$ nên $a - 1 \geq 0$. Suy ra chỉ có thể xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k(a - 1) = 0 \Rightarrow a - 1 = 0$ hay $a = 1$
Thay $a = 1$ vào đẳng thức $(m - 1)(b - 1) = (a+1)(k - ka + 1)$ ta được
$(m - 1)(b -1) = 2 \Rightarrow b - 1 = 1 \vee b - 1 = 2 \Rightarrow b = 2 \vee b = 3$

Trường hợp 2: $k(a - 1) = 1 \Rightarrow k = a - 1 = 1$ hay $k = 1 \wedge a = 2$
Thay $k = 1$ và $a=2$ vào đẳng thức $(m - 1)(b - 1) = (a+1)(k - ka + 1)$ ta được
$(m - 1)(b - 1) = 0 \Rightarrow m - 1 = 0 \vee b - 1 = 0 \Rightarrow m = 1 \vee b = 1$
Nếu như $m = 1$ thì từ đẳng thức $a + k =mb$ cho ta $b = 3$

Vậy có 4 cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa yêu cầu bài toán là $(1,2) ; (1, 3) ; (2,1) ; (2,3)$

[nguyenta98]

Thêm 1 bài nữa cho vui
Bài toán
Xác định tất cả các số nguyên dương (a,b) sao cho $a+b^2$ chia hết cho $a^2b-1$

Được, đã vậy mình xin post thêm cách khác
Giải như sau:
$a+b^2=k(a^2b-1) \Rightarrow a+b^2=ka^2b-k \Rightarrow b^2-b(ka^2)+(a+k)=0$
Suy ra $\Delta_b=(ka^2)^2-4(a+k)$ phải là số chính phương với $a,k$ nguyên dương (tức $a,k\geq 1$)
Từ đây lập luận thêm về tính đồng biến nghịch biến và kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp nên có $đpcm$

[universe]

Được, đã vậy mình xin post thêm cách khác
Giải như sau:
$a+b^2=k(a^2b-1) \Rightarrow a+b^2=ka^2b-k \Rightarrow b^2-b(ka^2)+(a+k)=0$
Suy ra $\Delta_b=(ka^2)^2-4(a+k)$ phải là số chính phương với $a,k$ nguyên dương (tức $a,k\geq 1$)
Từ đây lập luận thêm về tính đồng biến nghịch biến và kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp nên có $đpcm$

bạn giải thích rõ hơn dc ko

[universe]

Giải như sau:
TH1: $a\le b$
$a+b^2 \vdots a^2b-1 \Rightarrow a^3+b^2a^2 \vdots a^2b-1 \Rightarrow a^3+a+b^2a^2-a \vdots ab^2-1 \Rightarrow a^3+a \vdots ab^2-1 \Rightarrow a(a^2+1) \vdots ab^2-1 \Rightarrow a^2+1 \vdots ab^2-1$ (do $gcd(a,ab^2-1)=1$)
Suy ra $a^2+1\geq ab^2-1 \Rightarrow a^2+2\geq ab^2 \Rightarrow a^2+2\geq b^2$ (do $a\geq 1$) mà $a\le b$ nên $a=b$ vì nếu $a=b-k$ với $b>k>0$ thì $(b-k)^2+2\geq b^2 \Rightarrow b^2-2bk+k^2+2\geq b^2 \Rightarrow k^2+2\geq 2bk>2k^2$ (do $b>k$) khi ấy $k^2\le 2$ nên $k=1$ khi ấy $a=b-1$ ta có $(b-1)^2+2\geq b^2 \Rightarrow 3\geq 2b \Rightarrow b=1$ (do $b$ dương) nên $a=0$ vô lí, như vậy $a=b$ do đó $a+a^2 \vdots a^3-1 \Rightarrow a(a+1) \vdots a^3-1$ mà $gcd(a,a^3-1)=1 \Rightarrow a+1 \vdots a^3-1 \Rightarrow a+1\geq a^3-1 \Rightarrow a+2\geq a^3$ với $a\geq 2$ ta cm dễ dàng $f(a)=a^3-a-2$ đồng biến trên $[2,\infty$ nên $f(a)\geq f(2)>0$ do đó $a^3>a+2$ suy ra vô lí do đó $a=1$ khi ấy $a=b=1$ nên $a+b^2 \vdots 0$ vô lí
TH2: $a>b$ khi ấy $a+b^2 \vdots a^2b-1 \Rightarrow a+b^2 \vdots a(ab)-1 \Rightarrow a+b^2\geq a(ab)-1>ab^2-1$ (do $a>b$)
Như vậy $a+b^2\geq ab^2-1 \Rightarrow 2\geq (a-1)(b^2-1)$ suy ra $(a-1)(b^2-1)=0,1,2$
Nếu $(a-1)(b^2-1)=0 \Rightarrow a=1$ hoặc $b=1$ với $a=1$ thì $b^2+1 \vdots b-1 \Rightarrow b^2-1+2 \vdots b-1 \Rightarrow 2 \vdots b-1$ nên $b-1=1,2 \Rightarrow b=2,3$ còn nếu $b=1$ thì $a+1 \vdots a-1 \Rightarrow 2 \vdots a-1$ nên $a=2,3$
Nếu $(a-1)(b^2-1)=1 \Rightarrow b^2-1=1 \Rightarrow b^2=2$ vô lí
Nếu $(a-1)(b^2-1)=3$ thì $b^2-1=1,3$ chọn $b^2-1=3 \Rightarrow b=2$ khi ấy $a-1=1 \Rightarrow a=2$ thay vào ta có $2+2^2 \vdots 2^3-1$ dễ loại
Vậy $\boxed{(a,b)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}$
--------------
Hình như $3;1$ loại Nguyên à

ở dòng đầu, bạn ghi chia hết cho a^2b-1 rồi ghi chia hết cho ab^2-1! Sai rồi bạn