Chủ đề này có 6 trả lời

[Rlionkingu]

Một định lý cơ bản của năm 1 thế này: Từ một dãy bị chặn có thể lấy ra một dãy con hội tụ.
Có thể chứng minh định lý này theo một hướng khác như sau: Đầu tiên chứng minh rằng từ một dãy bất kì có thể lấy ra được một dãy con đơn điệu.Từ đó ,nếu như dãy bị chặn thì ta đi đến kết quả của định lý.
Có bạn nào đồng ý với tôi không.

[koreagerman]

Hì, không phải là năm nhất nhưng KG thấy ý tưởng của bạn thế này: "từ một dãy bất kì có thể lấy ra được một dãy con đơn điệu". Có điều là chứng minh điều này thế nào? Nếu chỉ ra được cách lấy với một dãy bất kỳ thì chắc là ý tưởng của bạn ok.

[Rlionkingu]

Cám ơn KG đã cùng trao đổi.Đó chính là ý tưởng chứng minh của tôi,bây giờ muốn đưa ra để các bạn ,nhất là các bạn năm 1 cùng suy nghĩ: từ một dãy bất kì ,có thể xây dựng được một dãy con của nó đơn điệu.(tôi đã xây dựng bằng 2 cách lập luận khác nhau).
_Mong được cùng trao đổi_

[MrMATH]

định lí này đúng là cơ bản
nếu tổng quát cho dãy điểm trong mặt phẳng hay trong không gian thì liệu có sử dụng ngay sự đơn điệu không nhỉ
chắc là được

[koreagerman]

Cám ơn KG đã cùng trao đổi.Đó chính là ý tưởng chứng minh của tôi,bây giờ muốn đưa ra để các bạn ,nhất là các bạn năm 1 cùng suy nghĩ: từ một dãy bất kì ,có thể xây dựng được một dãy con của nó đơn điệu.(tôi đã xây dựng bằng 2 cách lập luận khác nhau).
_Mong được cùng trao đổi_

bạn hãy đưa cách lập luận lên đi. Không cần là các bạn năm nhất mà cả những học sinh phổ thông hoặc ai đó quan tâm đến giải tích cổ điển đều có thể tham gia. KG nghĩ là có thể chọn ra dãy đơn điệu bằng cách: Chọn phần tử đầu bất kỳ, có một khoảng hữu hạn chứa vô số số hạng còn lại của dãy, giả sử a là cận dưới của dãy, thế thì có hai trường hợp: khoảng (a, e) chứa vô số số hạng của dãy với mọi e > 0 và nhỏ tùy ý; và trường hợp thứ hai thì tồn tại b thuộc dãy mà có vô số số hạng còn lại của dãy lớn hơn b... cứ tiếp tục thế ta chọn được hoặc dãy con giảm, hoặc dãy con tăng.

[Kakalotta]

Mình không còn là sinh viên nữa, nhưng cũng xin mọi người cho phép góp ý một câu thiển nghĩ thế này:
Nguyên văn địnhlý là một dãy vô hạn bị chặn thì có dãy con hội tụ đúng không? Cái vấn đề quan trọng nhất là tính bị chặn. Vậy nếu như bác suy nghĩ bài toán này theo quan điểm "đơn điệu" thì vô hình chung là đã đòi hỏi dãy này xác định trên một tập hợp có thứ tự. Nói cách khác, cách tiếp cận này sẽ khó có thể suy rộng cho những tập hợp không có thứ tự trong khi đối với những đối tượng này thì định lý vẫn hoàn toàn có thể đúng nếu có một số điều kiện phù hợp.
Hơn nữa, nếu như các bạn năm nhất học thì chắc là học luôn chứng minh cho R^n, vậy thì tiếp cận theo kiểu này sẽ phải định nghĩa đến cái thứ tự trên R^n, mà cái này thì không tầm thường.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 24-01-2005 - 08:43

[Rlionkingu]

Tôi nhất trí và cám ơn ý kiến của Kakalotta,vấn đề tôi đưa ra đúng là chỉ mới dừng lại cho các dãy trong tập số thực.Muốn mở rộng hơn bài toán cho các không gian khác,chẳng hạn không gian Metric thì đòi hỏi phải có một quan hệ thứ tự(hơn nữa là thứ tự toàn phần).Còn cách chứng minh theo các giáo trình giải tích cơ sở là giống với ý tưởng của bổ đề Cantor,thì ý tưởng này vẫn còn giá trị .Vì thế tôi chỉ muốn đưa ra cho các bạn năm 1 khi vừa học xong phần này.
Tôi đã đọc nhưng chưa hiểu rõ ý của KG lắm,nhưng bạn cũng đã nghĩ tới cận trên và cận dưới ,đó cũng là điểm mấu chốt trong lập luận của tôi.Tôi xin tóm tắt một lập luận:
Dựa vào Sup hay Inf đều được.Chẳng hạn tôi dùng Sup:
1. Nếu dãy không bị chặn trên,tức la Sup{a(n)}=+vô cùng(Xin lỗi vì còn chưa quen viết công thức toán).Khi đó dễ dàng chứng minh theo định nghĩa là tồn tại một dãy con tăng(nghiêm ngặt) tiến tới +vô cùng.
2.Nếu dãy bị chặn. Đặt L1=Sup{a(n)},trước hết ta có tính chất sau:
Nếu không tồn tại một phần tử nào của dãy bằng L=Sup{a(n)} thì ta xây dựng được một dãy con tăng( nghiêm ngặt ) tiến tới L.(*)
Bây giờ nếu tồn tại một phần tử của dãy bằng L1(tức là Max) ,ta đánh số :a(n1)=L1
Đặt L2=Sup{a(n1+1),a(n1+2)...},ta có : L2<=L1,lặp lại lập luận rằng :nếu xảy ra (*) (cho dãy bắt đầu từ a(n1+1))thì ta có ngay điều phải chứng minh, ngược lại thì tồn tại a(n2)=L2,cứ tiếp tục như vậy,nếu quá trình này không dừng lại (tức là không xảy ra (*)) thì ta xây dựng được một dãy con giảm của dãy đã cho.