Chủ đề này có 5 trả lời

[Kir]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$ với a,b,c>0

[NGUYEN MINH HIEU TKVN]

Bài làm

Ta có:
$\frac{1}{(1+x^{2})}-\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{1+y^{2}}-\frac{1}{1+xy}\geq 0$
<=> $\frac{1+xy-1-x^{2}}{(1+x^{2})(1+xy)}+\frac{1+xy-1-y^{2}}{(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$
<=> $\frac{x(y-x)}{(1+x^{2})(1+xy)}+\frac{y(x-y)}{(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$
,<=> $x(y-x)(1+y^{2})+y(x-y)(1+x^{2})\geq 0$
,<=> $(x-y)(-x(1+y^{2})+y(1+x^{2}))\geq 0$
<=> $(x-y)(-x-xy^{2}+y+x^{2}y)\geq 0$
<=> $(x-y)^{2}(xy-1)\geq 0$ (luôn đúng vì xy-1 >= 0)
vì các biến đổi trên tương nên ta có ĐPCM

chứng minh cái này trước vậy để gợi ý cho bạn $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{2}b^{2}}}$ (1)
việc cm cái này mình đã làm tại đấy >>>> http://diendantoanho.../page__st__1040
tất nhiên bạn sẽ cm đc cái này
$\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$
Và $\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{abc^{4}}}$
Ta dễ dàng chứng minh đc bất đẳng thức này theo phương pháp tương tương

Đến đây dễ rồi>> Áp dụng bdt AM- GM ta có
$\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{c^{3}+1}+\frac{1}{abc+1}\geq 2(\frac{1}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}+\frac{1}{1+\sqrt{abc^{4}}})$
lại áp dụng bất đẳng thức (1) có $(\frac{1}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}+\frac{1}{1+\sqrt{abc^{4}}})\geq \frac{2}{\sqrt[4]{a^{4}b^{4}c^{4}}}= \frac{2}{abc}$
Do đó ta có $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$ (ĐPCM).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGUYEN MINH HIEU TKVN: 24-11-2012 - 20:57

[NGUYEN MINH HIEU TKVN]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$ với a,b,c>0

=============================
Và bây giờ mình xin đề xuất một vài bài toán khác và dạng tổng quát ( hướng làm vẫn thế)
Bài 1 Cho a, b, c, d dương. Cm bất đẳng thức sau $\frac{1}{1+a^{4}}+\frac{1}{1+b^{4}}+\frac{1}{1+c^{4}}+\frac{1}{1+d^{4}}\geq \frac{4}{1+abcd}$
Dạng tổng quát $\sum \frac{1}{1+x^{n}_{1}}\geq \frac{n}{1+(x_{1}...x_{n})}$ với ( $x_{1};...;x_{n} \geq 1$ và $n\geq 2$
Dạng tổng quát trên mình cm theo quy nạp nhưng rất ....... vất vả, nó không dễ đâu !!!!!!
=====================================
TKVN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGUYEN MINH HIEU TKVN: 24-11-2012 - 21:11

[Nxb]

Mọi người có thấy thiếu điều kiện không, ở ngay trong chứng minh 2 số cũng đã cần $ab \geq 1$ rồi, còn bản chất thì chỉ là hàm lồi thôi. Đọc sách Phạm Kim Hùng là thấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 24-11-2012 - 21:19

[NGUYEN MINH HIEU TKVN]

Mọi người có thấy thiếu điều kiện không, còn bản chất thì chỉ là hàm lồi thôi. Đọc sách Phạm Kim Hùng là thấy

==================================
Anh ơi cho em hỏi tí. Đề bài hay bài làm của em thiếu điêù kiện hả anh, mong anh chỉ rõ

[donghaidhtt]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$ với a,b,c>0

chứng minh cái này trước vậy để gợi ý cho bạn $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{2}b^{2}}}$ (1)

Cho mình hỏi điều kiện đề bài là $a, b, c> 0$ chứ không phải $a, b, c\geq 1$ thì làm sao bạn áp dụng BĐT đó được?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 03-12-2012 - 13:14