Chủ đề này có 1 trả lời

[Secrets In Inequalities VP]

Giải trí nhân ngày 26/11 (ngày mai ) ! Cũng dễ thôi !
Cho $a,b \in\mathbb{N}^{*}$ , $(a,b)=1$. CMR : Mọi uoc nguyên tố lẻ của$a^{2^{n}}+b^{2^{n}}$ đều có dạng $2^{n+1}k+1$

[Primary]

Đặt $a^{2^{n}}+b^{2^{n}}=zd, z\in \mathbb{N^{*}}$, $d=2^{m}.v+1, m\in \mathbb{N}^{*}$ ($v$ là số nguyên dương lẻ)
Giả sử $m\leq n$
Vì $(a,b)=1$ nên $(a, d)=(b, d)=1$.
Theo định lí Fermat nhỏ ta có : $(a^{2^{n-m}})^{d-1}\equiv (b^{2^{n-m}})^{d-1}\equiv 1$ $(\mod d)$
hay ${ (a^{2^{n}})^{v}\equiv (b^{2^{n}})^{v}\equiv 1 }$ $(\mod d)$ (*)
Mà ${ (a^{2^{n}})^{v}=(zd-b^{2^{n}})=td-(b^{2^{n}})^{v}\equiv -(b^{2^{n}})^{v} }$ $(\mod d)$
Do đó từ (*) suy ra ${ (b^{2^{n}})^{v}\equiv -(b^{2^{n}})^{v}\equiv 1}$ $( \mod d)$ ( Mâu thuẫn)
Suy ra ${ m\geq n+1}$
Vậy ${ d\equiv 1 }$ ( mod ${2^{2n+1} }$ )
$\Rightarrow$ đpcm
___

NLT: Không nên dùng màu đỏ nhiều khi post bài bạn nhé ! Khuyến khích dùng các màu sẫm ! Cảm ơn !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 25-11-2012 - 11:23