Bài toán : Giải PT nghiệm nguyên
$$2^{3^x} + 1 = 19.3^y$$
Lâu lắm mới post bài
$$2^{3^x} + 1 = 19.3^y$$
Bắt đầu bởi yeutoan11, 25-11-2012 - 12:50
#1
Đã gửi 25-11-2012 - 12:50
- BoFaKe và nhungvienkimcuong thích
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
#2
Đã gửi 25-11-2012 - 13:45
dễ thấy pt có no nguyên thì đó phải là no nguyên dương
và theo zsigmondy thì $2^k-(-1)^k\not\equiv 0(mod19)$ với mọi $k=\overline{1;3^x-1}$
mà $2^9-(-1)^9\equiv 0(mod19)$
nên $3^x-1\leq 8\Rightarrow x\leq 2$
từ đó dễ dàng suy ra no của pt trên là $(x, y)$ bằng $(2;3)$
và theo zsigmondy thì $2^k-(-1)^k\not\equiv 0(mod19)$ với mọi $k=\overline{1;3^x-1}$
mà $2^9-(-1)^9\equiv 0(mod19)$
nên $3^x-1\leq 8\Rightarrow x\leq 2$
từ đó dễ dàng suy ra no của pt trên là $(x, y)$ bằng $(2;3)$
- WhjteShadow và BoFaKe thích
Chẳng có cái gì là mãi mãi…
Thế giới này là một sai lầm của tạo hóa…
Cảm xúc là một sai lầm của con người…
Niềm tin cũng là một sai lầm…là cách tự xác ngu xuẩn nhất…
Thế giới này là một sai lầm của tạo hóa…
Cảm xúc là một sai lầm của con người…
Niềm tin cũng là một sai lầm…là cách tự xác ngu xuẩn nhất…
#3
Đã gửi 25-11-2012 - 14:54
Cách giải khác không dùng zsigmondyBài toán : Giải PT nghiệm nguyên
$$2^{3^x} + 1 = 19.3^y$$
Lâu lắm mới post bài
Giải như sau:
Dễ cm $x,y$ nguyên không âm
$2^{3^x}+1=19.3^y \Rightarrow 2^{3^x}+1 \vdots 3^y \Rightarrow 2^{2.3^x}-1 \vdots (2^{3^x}+1) \vdots 3^y$
Nhưng mặt khác $2^{2.3^x}-1=(2^{3^x}+1)(2^{3^x}-1)$ mà $gcd(2^{3^x}-1,3)=1$ do đó ta có điều tương đương
$$2^{3^x}+1 \vdots 3^y \Leftrightarrow 2^{2.3^x}-1 \vdots 3^y$$
Ta có mệnh đề sau: $3^{x+1}||2^{2.3^x}-1$ với dấu $||$ có nghĩa là $2^{2.3^x}-1 \vdots 3^{x+1}$ mà $\not \vdots 3^{x+2}$
Áp dụng vào bài suy ra $3^{x+1}||2^{2.3^x}-1$ nên $3^{x+1}||2^{3^x}+1$
Do đó $3^{x+1}||VT \Rightarrow 3^{x+1}||VP \Rightarrow 3^{x+1}||3^y \Rightarrow x+1=y$
Giờ ta thu được phương trình $2^{3^x}+1=19.3^{x+1}$
Với $x\geq 3$ ta dễ cm $2^{3^x}+1>19.3^{x+1}$ bằng quy nạp đơn giản do đó $x<3$ nên $x=1,2$ thử thay vào ta thấy $x=2$ thỏa khi ấy $y=3$
Vậy $\boxed{(x,y)=(2,3)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 25-11-2012 - 14:55
- yeutoan11 và nhungvienkimcuong thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh