Đến nội dung

Hình ảnh

$$2^{3^x} + 1 = 19.3^y$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
Bài toán : Giải PT nghiệm nguyên

$$2^{3^x} + 1 = 19.3^y$$

Lâu lắm mới post bài :)
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#2
kerry0111

kerry0111

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
dễ thấy pt có no nguyên thì đó phải là no nguyên dương

và theo zsigmondy thì $2^k-(-1)^k\not\equiv 0(mod19)$ với mọi $k=\overline{1;3^x-1}$

mà $2^9-(-1)^9\equiv 0(mod19)$

nên $3^x-1\leq 8\Rightarrow x\leq 2$

từ đó dễ dàng suy ra no của pt trên là $(x, y)$ bằng $(2;3)$
Chẳng có cái gì là mãi mãi…

Thế giới này là một sai lầm của tạo hóa…

Cảm xúc là một sai lầm của con người…

Niềm tin cũng là một sai lầm…là cách tự xác ngu xuẩn nhất…

#3
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài toán : Giải PT nghiệm nguyên

$$2^{3^x} + 1 = 19.3^y$$

Lâu lắm mới post bài :)

Cách giải khác không dùng zsigmondy
Giải như sau:
Dễ cm $x,y$ nguyên không âm
$2^{3^x}+1=19.3^y \Rightarrow 2^{3^x}+1 \vdots 3^y \Rightarrow 2^{2.3^x}-1 \vdots (2^{3^x}+1) \vdots 3^y$
Nhưng mặt khác $2^{2.3^x}-1=(2^{3^x}+1)(2^{3^x}-1)$ mà $gcd(2^{3^x}-1,3)=1$ do đó ta có điều tương đương
$$2^{3^x}+1 \vdots 3^y \Leftrightarrow 2^{2.3^x}-1 \vdots 3^y$$
Ta có mệnh đề sau: $3^{x+1}||2^{2.3^x}-1$ với dấu $||$ có nghĩa là $2^{2.3^x}-1 \vdots 3^{x+1}$ mà $\not \vdots 3^{x+2}$
Áp dụng vào bài suy ra $3^{x+1}||2^{2.3^x}-1$ nên $3^{x+1}||2^{3^x}+1$
Do đó $3^{x+1}||VT \Rightarrow 3^{x+1}||VP \Rightarrow 3^{x+1}||3^y \Rightarrow x+1=y$
Giờ ta thu được phương trình $2^{3^x}+1=19.3^{x+1}$
Với $x\geq 3$ ta dễ cm $2^{3^x}+1>19.3^{x+1}$ bằng quy nạp đơn giản do đó $x<3$ nên $x=1,2$ thử thay vào ta thấy $x=2$ thỏa khi ấy $y=3$
Vậy $\boxed{(x,y)=(2,3)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 25-11-2012 - 14:55





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh