Chủ đề này có 4 trả lời

[tieulyly1995]

Tìm $f: R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa mãn :
$\frac{f^{2}(w)+ f^{2}(x)}{f(y^{2})+ f(z^{2})}= \frac{w^{2}+ x^{2}}{y^{2}+ z^{2}}$
$\forall w.x = y.z$ và $x,y,w,z \in R^{+}$

[Idie9xx]

Tìm $f: R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa mãn :
$\frac{f^{2}(w)+ f^{2}(x)}{f(y^{2})+ f(z^{2})}= \frac{w^{2}+ x^{2}}{y^{2}+ z^{2}}$
$\forall w.x = y.z$ và $x,y,w,z \in R^{+}$

Ta có $f^2(x)=f(f(x))$

Cho $x=y^2=z^2,w=1$ có $\frac{f(f(1))+ f(f(x))}{2f(x)}= \frac{1+ x^{2}}{2x} \Rightarrow f(f(x))=(x+\frac{1}{x})f(x)-f(f(1))$

Nên $f(x)=f(y) \Rightarrow f(f(x))=f(f(y)) \Rightarrow x=y \vee x=\frac{1}{y}$

Cho $x=y=z=w$ có $f(f(x))=f(x^2) \Rightarrow f(x^4)=f(f(x^2))=f(f(f(x)))=f((f(x))^2)$

$\Rightarrow f(x)=x^2 \vee f(x)=\frac{1}{x^2}$

Thử lại thấy không thỏa.

Vậy không có hàm nào thỏa mãn đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 19-04-2013 - 19:23

[barcavodich]

Ta có $f^2(x)=f(f(x))$(sao lại thế này)

Cho $x=y^2=z^2,w=1$ có $\frac{f(f(1))+ f(f(x))}{2f(x)}= \frac{1+ x^{2}}{2x} \Rightarrow f(f(x))=(x+\frac{1}{x})f(x)-f(f(1))$

Nên $f(x)=f(y) \Rightarrow f(f(x))=f(f(y)) \Rightarrow x=y \vee x=\frac{1}{y}$

Cho $x=y=z=w$ có $f(f(x))=f(x^2) \Rightarrow f(x^4)=f(f(x^2))=f(f(f(x)))=f((f(x))^2)$

$\Rightarrow f(x)=x^2 \vee f(x)=\frac{1}{x^2}$

Thử lại thấy không thỏa.

Vậy không có hàm nào thỏa mãn đề bài ($f(x)=x$ hoặc $f(x)=\frac{1}{x}$ thoả đề mà) 

Bạn xem lại giùm với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 20-04-2013 - 10:10

[barcavodich]

Đây là lời giải của mình

Cho $x=y=z=w$ thì $f(x)^2=f(x^2)\forall x\epsilon \mathbb{R_+}$

ta có $f(1)=1$

ta có thể viết lại giả thiết thành $\frac{f(w)+f(x)}{f(y)+f(z)}=\frac{w+x}{y+z}$ với $wx=yz$

cho $z=1$ ta có $w=\frac{y}{z}$

$f(\frac{y}{x})+f(x)=(\frac{y}{x}+x)\frac{f(y)+1}{y+1}$

từ đây thay $y=x^2$

ta thu được $f(x)=x.\frac{f(x)^2+1}{x^2+1}$

$\Leftrightarrow (f(x)-x)(f(x)-\frac{1}{x})=0$

từ đây thay vào thử lại thì $f(x)=x$ và $f(x)=\frac{1}{x}$ thoả đề

[Idie9xx]

Đây là lời giải của mình

Cho $x=y=z=w$ thì $f(x)^2=f(x^2)\forall x\epsilon \mathbb{R_+}$

ta có $f(1)=1$

ta có thể viết lại giả thiết thành $\frac{f(w)+f(x)}{f(y)+f(z)}=\frac{w+x}{y+z}$ với $wx=yz$

cho $z=1$ ta có $w=\frac{y}{z}$

$f(\frac{y}{x})+f(x)=(\frac{y}{x}+x)\frac{f(y)+1}{y+1}$

từ đây thay $y=x^2$

ta thu được $f(x)=x.\frac{f(x)^2+1}{x^2+1}$

$\Leftrightarrow (f(x)-x)(f(x)-\frac{1}{x})=0$

từ đây thay vào thử lại thì $f(x)=x$ và $f(x)=\frac{1}{x}$ thoả đề

Kí hiệu $f^2$ là hàm hợp nhé ( $f^{\circ}f$ ). Cũng như $f^n$

Mình trước cũng bị nhầm $f^2(x)$ là $(f(x))^2$