Với $2$ số không âm $a$ và $b$ ta đều có :
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.
Dạng tổng quát :
Với mọi số không âm $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ ta đều có :
$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a_1 = a_2 = a_3 = ... = a_n$.
2) BĐT Bunyakovsky :
$\left ( a^{2} + b^{2} \right ) \left ( c^{2} + d^{2} \right ) \geq \left ( ac + bd \right )^{2}$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
3) BĐT Bernoulli :
$\left ( 1 + x \right )^{r} \geq 1 + rx$ $;$ $\forall r \in \mathbb{N}$ và $\forall x \in \mathbb{R}$
4) BĐT Cauchy - Schwarz :
$\left | \left \langle x, y \right \rangle \right |^{2} \leq \left \langle x, x \right \rangle.\left \langle y, y \right \rangle$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x$ và $y$ phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của $x$ và $y$ là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng $0$.
5) BĐT Bunyakovsky - Cauchy
Với các số $a_1, a_2, b_1, b_2$ ta đều có :
$\left ( a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} \right )^{2} \leq \left ( a_{1}^{2}a_{2}^{2} \right )\left ( b_{1}^{2}b_{2}^2 \right )$ (dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a_1 : a_2 = b_1 : b_2$ $;$ $a_1, a_2, b_1, b_2$ $\in \mathbb{R}$).
Dạng tổng quát :
$\left ( a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + ... + a_nb_n \right )^{2} \leq \left ( a_{1}^{2} + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 \right )\left ( b_1^2 + b_2^2 + b_2^3 + ... + b_n^2 \right )$
(dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a_1 : a_2 : a_3 : ... : a_n = a_1 : b_2 : b_3 : ... : b_n$ $;$ $a_1, a_2, a_3, ..., a_n, b_1, b_2, b_3, ..., b_n \in \mathbb{R}$)
6) BĐT cộng Chebyshev :
Nếu cho $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \geq a_n$ và $b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq ... \geq b_n$ thì $\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}a_{k}b_{k} \geq \left ( \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}a_k \right )\left ( \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}b_k \right )$
Tương tự, nếu $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \geq a_n$ và $b_1 \leq b_2 \leq b_3 \leq ... \leq b_n$ thì $\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}a_{k}b_{k} \leq \left ( \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}a_k \right )\left ( \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}b_k \right )$
7) BĐT Chernoff :
Sau đây là một ví dụ trường hợp đặc biệt của chặn Chernoff. Giả sử $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập với xác suất $p > \frac{1}{2}$. Khi đó, nếu gọi xác suất xảy ra ít nhất $\frac{n}{2}$ sự kiện $\left \{ x_k = 1 \right \}$ là $P$ thì :
$P = \sum_{i = \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + 1}^{n} \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}p^{i}\left ( 1 - p \right )^{n - i}$
Chặn Chernoff cho thấy $P$ có chặn dưới như sau :
$P \geq 1 - e^{-2n\left ( p - \frac{1}{2} \right )^{2}}$
Dưới đây, trường hợp này sẽ được tổng quát hóa theo nhiều hướng khác nhau. Có nhiều phiên bản khác nhau của chặn Chernoff : sai số có thể là sai số tuyệt đối hoặc sai số tương đối so với giá trị kỳ vọng.
8) BĐT Azuma :
Trong lý thuyết xác suất, bất đẳng thức Azuma - Hoeffding là một bất đẳng thức về sự tập trung của giá trị một martingale có gia số bị chặn.
Giả sử $\left \{ x_k : k = 0, 1, 2, 3, ... \right \}$ là một martingale (hoặc super - martingale) và $\left | x_k - x_{k - 1} \right |$ $< c_k$ gần như chắc chắn. Khi đó, với mọi số nguyên dương $n$ và mọi số thực dương $t$ ta có : $P\left ( x_n - x_0 \geq t \right ) \leq \exp \left ( \frac{-t^2}{2\sum_{k = 1}^{n}c_k^2} \right )$
Nếu $x$ là một martingale thì bằng cách áp dụng bất đẳng thức Azuma cho cả martingale $-x$ và $x$ ta có bất đẳng thức sau :
$P\left ( \left | x_n - x_0 \right | \geq t \right ) \leq 2 \exp \left ( \frac{-t^2}{2\sum_{k = 1}^{n}c_k^2} \right )$
9) BĐT Holder :
Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Holder là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian $L^p$ : giả sử $S$ là một không gian đo, với $1 \leq p, q \leq \infty$ thỏa $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, đồng thời $f$ thuộc $L^p(S)$ và $g$ thuộc $L^q(S)$. Khi đó $fg$ thuộc $L^1(S)$ và : $\left \| fg \right \|_1 \leq \left \| f \right \|_p\left \| g \right \|_q$
10) BĐT Jensen :
Với mọi hàm lồi $f$ trên $\mathbb{I}\left ( a, b \right )$ và mọi $a_1, a_2, a_3, ..., a_n \in \mathbb{I}\left ( a, b \right )$ ta có :
$f(a_1) + f(a_2) + f(a_3) + ... + f(a_n) \geq nf\left ( \frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n}{n} \right )$
Với mọi hàm lõm $f$ trên $\mathbb{I}\left ( a, b \right )$ và mọi $a_1, a_2, a_3, ..., a_n \in \mathbb{I}\left ( a, b \right )$ ta có :
$f(a_1) + f(a_2) + f(a_3) + ... + f(a_n) \leq nf\left ( \frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n}{n} \right )$
Lưu ý : $f$ là hàm lồi khi ta có ${f}''(x) > 0$ trên $\mathbb{I}\left ( a, b \right )$ và là hàm lõm khi ta có ${f}''(x) < 0$ trên $\mathbb{I}\left ( a, b \right )$.
Bất đẳng thức Jensen là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata.
11) BĐT Hoeffding :
Trong lý thuyết xác suất, bất đẳng thức Hoeffding cho một chặn trên của xác suất một tổng các biến ngẫu nhiên sai lệch với giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Hoeffding được chứng minh bởi Wassily Hoeffding.
Giả sử $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giả sử $x_i$ gần như bị chặn ; nghĩa là với mọi $1 \leq i \leq n$ ta có :
$\Pr\left ( x_i \in \left [ a_i, b_i \right ] \right ) = 1$
Giá trị trung bình của các thực nghiệm đó là $\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n}$
Ta có các bất đẳng thức sau :
$\Pr\left ( \overline{x} - E\left [ \overline{x} \right ] \geq t \right ) \leq \exp \left ( -\frac{2t^2n^2}{\sum_{i = 1}^{n}\left ( b_i - a_i \right )^{2}} \right )$
và
$\Pr\left ( \left | \overline{x} - E\left [ \overline{x} \right ] \geq t \right | \right ) \leq \exp \left ( -\frac{2t^2n^2}{\sum_{i = 1}^{n}\left ( b_i - a_i \right )^{2}} \right )$
12) BĐT Nesbitt :
Trong toán học, bất đẳng thức Nesbitt là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi số phần tử là $3$. Nó được phát biểu như sau :
Cho $a, b, c$ là ba số thực dương. Khi đó ta có :
$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 11-12-2012 - 20:30
