Chủ đề này có 1 trả lời

[thien than cua gio]

Một số nguyên dương $n> 1$ được gọi là hoàn toàn không chính phương nếu n không có ước chung chính phương khác $1$ .CMR :nếu n là hợp số và $n-1\vdots \varphi (n)$ thì n hoàn toàn không chính phương với n có ít nhất $3$ ước nguyên tố (trong đó $\varphi(n)$ là số các nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n )

[nguyenta98]

Một số nguyên dương $n> 1$ được gọi là hoàn toàn không chính phương nếu n không có ước chung chính phương khác $1$ .CMR :nếu n là hợp số và $n-1\vdots \varphi (n)$ thì n hoàn toàn không chính phương với n có ít nhất $3$ ước nguyên tố (trong đó $\varphi(n)$ là số các nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n )

Giải như sau:
Giả sử phản chứng suy ra $n$ chỉ có $1$ ước nguyên tố hoặc $2$ ước nguyên tố
TH1: $n$ có $1$ ước nguyên tố, theo định nghĩa $n$ số hoàn toàn không cp suy ra $n=p$ vô lí vì $n$ hợp số
TH2: $n$ có $2$ ước nguyên tố, theo định nghĩa $n$ số hoàn toàn không cp suy ra $n=pq$
Dễ thấy gọi $P$ là tập các số chia hết cho $p$ và $Q$ là tập các số chia hết cho $q$ suy ra $|P|=\dfrac{n}{p}=q$ và $|Q|=\dfrac{n}{q}=p$ và $|P \cap Q|=\dfrac{n}{pq}=1$
Suy ra $\varphi(n)=\varphi(pq)=n-(|P|+|Q|-|P \cap Q|)=pq-(p+q-1)=(p-1)(q-1)$
Như vậy $pq \vdots (p-1)(q-1)$ do $gcd(p,p-1)=1$ suy ra $q \vdots p-1$ cm tg tự $p \vdots q-1$ và $p,q$ nguyên tố nên $q=p-1,p=q-1$ đây là điều vô lí
Vậy phản chứng sai nên có $đpcm$