Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 25-11-2012 - 23:40
Giải phương trình: $\sqrt{x^2-4x+40}+\sqrt{x^2+4x+53}=\sqrt{185}$
Bắt đầu bởi donghaidhtt, 25-11-2012 - 23:36
đh hải toánthpt toán 11
#1
Đã gửi 25-11-2012 - 23:36
Giải phương trình: $\sqrt{x^2-4x+40}+\sqrt{x^2+4x+53}=\sqrt{185}$
#2
Đã gửi 26-11-2012 - 01:17
Giải phương trình: $\sqrt{x^2-4x+40}+\sqrt{x^2+4x+53}=\sqrt{185}$
$\sqrt{ x^{2} - 4x + 40 }+ \sqrt{ x^{2} + 4x + 53 } = \sqrt{185}$
$\Leftrightarrow \sqrt{ \left ( x - 2 \right )^{2} + 6^{2}} + \sqrt{ \left ( x + 2 \right )^{2} + 7^{2}} = \sqrt{185}$
Đặt
$\vec{u} = ( 2 - x , 6 )$ và $\vec{v} = ( x + 2 , 7 )$
$\Rightarrow \vec{u} + \vec{v} = (4,13)$
Thì ta có
$\left | \vec{u} \right | = \sqrt{ \left ( x - 2 \right )^{2} + 6^{2}}$
$\left | \vec{v} \right | = \sqrt{ \left ( x + 2 \right )^{2} + 7^{2}}$
$\left | \vec{u} + \vec{v} \right | = \sqrt{ 4^{2} + 13^{2}} = \sqrt{185}$
Mà ta có bđt véctơ sau:
$\left | \vec{u} \right | + \left | \vec{v} \right | \geq \left | \vec{u} + \vec{v} \right |$
$\Rightarrow \sqrt{ \left ( x - 2 \right )^{2} + 6^{2}} + \sqrt{ \left ( x + 2 \right )^{2} + 7^{2}}
\geq \sqrt{185}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véctơ u và v cùng phương, tức là tồn tại $k \in \mathbb{R}$ thỏa $\vec{u} = k\vec{v}$
hay $\frac{2-x}{x+2} = \frac{6}{7} \Leftrightarrow x = \frac{2}{13}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{2}{13}$
P/S ko nhớ rõ là bđt véctơ có cần phải cm ko vì nó chính là độ dài của các véctơ.
Hoặc ta có thể cm bđt phụ sau bằng cách bình phương hai vế, khai triển ra thì ta sẽ được bđt Cauchy-Schwarz:
$\sqrt{ a^{2} + b^{2} } + \sqrt{ c^{2} + d^{2} } \geq \sqrt{ \left ( a+c \right ) ^{2} + \left ( b+d \right ) ^{2} }$
rồi từ đó xét trường hơp đẳng thức xảy ra và giải tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khong la gi ca: 26-11-2012 - 01:20
- leminhansp, BoFaKe, provotinhvip và 2 người khác yêu thích
"The Universe appears to be flawed.
If things exist because they ought to,
why are they not much better than they are?"
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đh, hải, toánthpt, toán 11
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh