Chủ đề này có 1 trả lời

[donghaidhtt]

Giải phương trình: $\sqrt{x^2-4x+40}+\sqrt{x^2+4x+53}=\sqrt{185}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 25-11-2012 - 23:40

[khong la gi ca]

Giải phương trình: $\sqrt{x^2-4x+40}+\sqrt{x^2+4x+53}=\sqrt{185}$

$\sqrt{ x^{2} - 4x + 40 }+ \sqrt{ x^{2} + 4x + 53 } = \sqrt{185}$
$\Leftrightarrow \sqrt{ \left ( x - 2 \right )^{2} + 6^{2}} + \sqrt{ \left ( x + 2 \right )^{2} + 7^{2}} = \sqrt{185}$
Đặt
$\vec{u} = ( 2 - x , 6 )$ và $\vec{v} = ( x + 2 , 7 )$
$\Rightarrow \vec{u} + \vec{v} = (4,13)$

Thì ta có
$\left | \vec{u} \right | = \sqrt{ \left ( x - 2 \right )^{2} + 6^{2}}$
$\left | \vec{v} \right | = \sqrt{ \left ( x + 2 \right )^{2} + 7^{2}}$
$\left | \vec{u} + \vec{v} \right | = \sqrt{ 4^{2} + 13^{2}} = \sqrt{185}$

Mà ta có bđt véctơ sau:
$\left | \vec{u} \right | + \left | \vec{v} \right | \geq \left | \vec{u} + \vec{v} \right |$
$\Rightarrow \sqrt{ \left ( x - 2 \right )^{2} + 6^{2}} + \sqrt{ \left ( x + 2 \right )^{2} + 7^{2}}
\geq \sqrt{185}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véctơ u và v cùng phương, tức là tồn tại $k \in \mathbb{R}$ thỏa $\vec{u} = k\vec{v}$
hay $\frac{2-x}{x+2} = \frac{6}{7} \Leftrightarrow x = \frac{2}{13}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{2}{13}$

P/S ko nhớ rõ là bđt véctơ có cần phải cm ko vì nó chính là độ dài của các véctơ.

Hoặc ta có thể cm bđt phụ sau bằng cách bình phương hai vế, khai triển ra thì ta sẽ được bđt Cauchy-Schwarz:
$\sqrt{ a^{2} + b^{2} } + \sqrt{ c^{2} + d^{2} } \geq \sqrt{ \left ( a+c \right ) ^{2} + \left ( b+d \right ) ^{2} }$
rồi từ đó xét trường hơp đẳng thức xảy ra và giải tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khong la gi ca: 26-11-2012 - 01:20