Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = AC = a.
a) Lấy điểm D trên cạnh AC và điểm E trên cạnh AB sao cho AD = AE. Các đường thẳng vuông góc với EC vẽ từ A và D lần lượt cắt cạnh BC ở K và L. Chứng minh BK = KL.
b) Một hình chữ nhật APMN thay đổi có đỉnh P trên cạnh AB, đỉnh N trên cạnh AC và có chu vi luôn bằng 2a. Điểm M di chuyển trên đường nào?
c) Chứng minh khi hình chữ nhật APMN thay đổi thì đường vuông góc vẽ từ M xuống đường chéo PN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu a em giải được rồi, giúp em câu b và câu c, câu b biết đáp án nhưng không biết giải 
a) $LD$ cắt $AB$ tại $F$.
Chứng minh được: $\Delta EAC=\Delta DAF$ $(g.c.g)$
Từ đó, ta có: $AC=AF$ mà $AC=AB$ (gt) nên $AF=AB$
Xét $\Delta BFL$, ta có:
$AB=AF=\frac{1}{2}BF$
$AK//FL$ (dễ dàng chứng minh được dựa vào $AK\perp EC$ và $DL\perp EC$)
Do đó $BK=LK=\frac{1}{2}BL$ $(đ.p.c.m)$
b) Ta có: $AP+PM+MN+NA=2a$ (chu vi hình chữ nhật $APMN=2a$)
Mà $AP=MN$, $PM=NA$ nên
$2(AN+NM)=2a$
$AN+NM=a$
Lại có: $AC=AN+NC=a$
Nên $NM=NC$
Do đó $\Delta NMC$ cân tại $N$.
$\Rightarrow$ $\angle NCM=\angle NMC$
Mà $\angle NCM=45^{\circ}$ (Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$)
Nên $\angle NMC=45^{\circ}$
Chứng minh tương tự, ta có:
$\angle PMB=45^{\circ}$
Ta có: $\angle BMC=\angle BMP+\angle PMN+\angle NMC=45^{\circ}+90^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}$
Vậy 3 điểm $B,M,C$ thẳng hàng, mà $BC$ cố định nên $M$ chuyển động trên đường thẳng $BC$.
Giới hạn: Khi $N\equiv C$ thì $P\equiv A$ và $M\equiv C$
Khi $P\equiv B$ thì $N\equiv A$ và $M\equiv B$
Vậy $M$ chuyển động trên đoạn thẳng $BC$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 26-11-2012 - 23:19
