Đến nội dung

Hình ảnh

Topic về Hệ thức lượng trong tam giác

* * * * * 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những vấn đề thường hay được đưa ra trong những kì thi, đặc biệt là HSG. Tuy nhiên trong box này mình chưa thấy có một topic nào thảo luận một cách có hệ thống chủ đề này, vì vậy mình lập topic này với mục đích học hỏi, là nơi thảo luận các bài toán về tam giác, hay bất đẳng thức tam giác. Hi vọng sẽ nhận được sự ủng hộ của mọi người :)

______________

Mở đầu topic là một bài đơn giản đề khởi động :D

Bài 1. Cho $\Delta ABC$, chứng minh các hệ thức sau

$$a.\, \, \, \sum \sin A=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}} \\ \\ b. \, \, \, \sum \cos A=1+4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}} \\ \\ c.\, \, \, \sum \cos^2{\frac{A}{2}}=2+2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}$$

Bài 2. (tramyvodoi)$$tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-11-2012 - 18:24

ĐCG !

#2
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết

Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những vấn đề thường hay được đưa ra trong những kì thi, đặc biệt là HSG. Tuy nhiên trong box này mình chưa thấy có một topic nào thảo luận một cách có hệ thống chủ đề này, vì vậy mình lập topic này với mục đích học hỏi, là nơi thảo luận các bài toán về tam giác, hay bất đẳng thức tam giác. Hi vọng sẽ nhận được sự ủng hộ của mọi người :)

______________

Mở đầu topic là một bài đơn giản đề khởi động :D

Bài 1. Cho $\Delta ABC$, chứng minh các hệ thức sau

$a.\, \, \, \sum \sin A=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}} \\ \\ b. \, \, \, \sum \cos A=1+4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}} \\ \\ c.\, \, \, \sum \cos^2{\frac{A}{2}}=2+2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}$

Bài 2. (tramyvodoi)
$tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC$


Xử hết một lượt luôn !

Bài 1:

$a)$ \[VT=2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}\]
\[= 2 \cos \frac{C}{2} ( \cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{C}{2} )\]
\[= 2 \cos \frac{C}{2}. 2. \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} = VP\]

$b)$ \[VT=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} + 1 - 2\sin^2 \frac{C}{2}\]
\[= 1+2\sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2})\]
\[=1+4\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=VP\]

$c)$ Áp dụng câu $b$ thôi: \[VT=\frac{1+\cos A}{2} + \frac{1+\cos B}{2} + \frac{1+\cos C}{2}\]
\[=1+4\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=VP\]

Bài 2: \[\tan (A+B) = -\tan C \to \frac{\tan A+ \tan B}{1-\tan A \tan B}= -\tan C\]
\[\to \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C (Q.E.D) \]
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-11-2012 - 18:29

  • T M yêu thích

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#3
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết

............


Cám ơn em đã ủng hộ topic :)

Tiếp bằng một bài nhẹ nhé.

Bài 3 ( Định lí $\text{Cot}$ trong tam giác )

$$\cot A + \cot B +\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 27-11-2012 - 18:38

ĐCG !

#4
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết

Cám ơn em đã ủng hộ topic :)

Tiếp bằng một bài nhẹ nhé.

Bài 3 ( Định lí $\cot$ trong tam giác ) $\cot A + \cot B +\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$


Nhẹ nhàng, giải như sau: Áp dụng định lý hàm số $\cos$ vào $\Delta ABC$:
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A= b^2+c^2-2bc\sin A \cot A= b^2+c^2-4S \cot A \]
Xây dựng $2$ đẳng thức tương tự rồi cộng lại $\to Q.E.D$ :D
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-11-2012 - 18:41

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#5
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
Trước hết là mình cứ giải quyết hết một số định lí cơ bản đã nhỉ :D

Bài 4. Chứng minh ( công thức về độ dài trung tuyến )

$$\sum (m_{a})^2=\frac{3}{4}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$

Bài 5. Chứng minh ( công thức độ dài phân giác )

$$l_a=\frac{2bc}{b+c}.\cos{\frac{A}{2}}=\frac{2bc}{b+c}.\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$$

Bài 6. Chứng minh ( công thức độ dài đường cao)

$$h_a=\frac{2S}{a}$$

Bài 7. Chứng minh ( công thức độ dài bán kính đường tròn nội tiếp )

$$r=\left ( p-a \right ).\tan{\frac{A}{2}}=.....$$
ĐCG !

#6
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết

Trước hết là mình cứ giải quyết hết một số định lí cơ bản đã nhỉ :D

Bài 4. Chứng minh ( công thức về độ dài trung tuyến )
$$\sum (m_{a})^2=\frac{3}{4}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$
$$r=\left ( p-a \right ).\tan{\frac{A}{2}}=.....$$


Ta có công thức đường trung tuyến như sau: $m_a=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}$

Chứng minh hoàn toàn đơn giản, và ta Định lý $Stewart$ mạnh hơn, chứng minh ở đây ( hoàn toàn giống với chứng minh công thức đường trung tuyến thôi :D ) !
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 28-11-2012 - 21:33

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#7
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết

Bài 5. Chứng minh ( công thức độ dài phân giác )

$$l_a=\frac{2bc}{b+c}.\cos{\frac{A}{2}}=\frac{2bc}{b+c}.\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$$


Chán nhỉ, topic ế ẩm thật, khởi động bài này tí :D

Từ $A$ kể $l_a$ xuống $BC$, gọi giao điểm của $l_a$ và $BC$ là $D$.

Ta có $S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}=\frac{1}{2}.c.l_a.\sin{\frac{A}{2}}+\frac{1}{2}.l_a.b.\sin{\frac{A}{2}}=\frac{1}{2}.\sin{\frac{A}{2}}.l_a\left ( b+c \right )$

Mà $S_{ABC}=\frac{1}{2}.b.c.\sin{A}$

Từ đây dễ có ĐPCM, nửa còn lại xin dành cho các bạn :D

__

Từ đây ta có hệ thức rất đẹp $\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 28-11-2012 - 21:46

ĐCG !

#8
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết

Bài 7. Chứng minh ( công thức độ dài bán kính đường tròn nội tiếp )
$$r=\left ( p-a \right ).\tan{\frac{A}{2}}=.....$$


Chém nhanh còn post bài mới !

Ta có

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A} \Longrightarrow a^2=(b-c)^2+4.S.\tan{\frac{A}{2}} \Longrightarrow \tan{\frac{A}{2}}=\frac{(p-b)(p-c)}{S}$

Vậy ta đi chứng minh

$S.r=(p-a)(p-b)(p-c)$ hay là $p.r^2=(p-a)(p-b)(p-c)$ điều này đúng theo công thức $\text{Heron}$.

Từ đây, ta có 2 kết quả đẹp mắt sau
  • $\tan{\frac{A}{2}}=\frac{(p-b)(p-c)}{S}$
  • $r=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{S}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 28-11-2012 - 22:39

ĐCG !

#9
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
Post tiếp một số bài để mọi người cùng làm :P

Cho $\Delta ABC$

Bài 8. Chứng minh rằng $\frac{r}{R}=\sin{\frac{A}{2}}.\sin{\frac{B}{2}}.\sin{\frac{C}{2}}$

Bài 9. Chứng minh rằng $\sum \cos{A}=1+\frac{r}{R}$

Hi vọng mọi người ủng hộ topic hơn nữa :D
ĐCG !

#10
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Post tiếp một số bài để mọi người cùng làm :P

Cho $\Delta ABC$

Bài 8. Chứng minh rằng $\frac{r}{R}=\sin{\frac{A}{2}}.\sin{\frac{B}{2}}.\sin{\frac{C}{2}}$

Bài 9. Chứng minh rằng $\sum \cos{A}=1+\frac{r}{R}$

Hi vọng mọi người ủng hộ topic hơn nữa :D

Giờ mới vào được VMF, thấy cái này hay hay, mong topic phát triển nữa !!!
Bài 8:
Ta có: $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$
Tương tự với $\sin \frac{B}{2}, \sin \frac{C}{2}$
Lại có $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr=\frac{abc}{4R}$
Suy ra $\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{abc}=\frac{r}{4R}$
Bài 9:
Ta có: $\cos A+\cos B+\cos C=\sum \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc}+1=\frac{r}{R}+1$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#11
vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
cái pic này rất hay mà sao ko ai tham gia nhỉ.

Chủ pic tiếp tục được không ?

Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#12
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
Mình xin góp vào topic này một bài nhen :ukliam2:
CMR:
$$\sum \frac{a^2.cos\frac{B-C}{2}}{2sin\frac{A}{2}}\leq \sum a^2$$

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#13
linhphammai

linhphammai

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 241 Bài viết

Gửi bài này trong file đính kèm

Mình đăng bài này có vẻ hơi ngu nhưng thực sự mình chưa làm được

phiền mọi người nhé. cảm ơn


NEVER GIVE UP... :angry:  

Không cần to lớn để bắt đầu, nhưng cần bắt đầu để trở nên to lớn...

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh