Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những vấn đề thường hay được đưa ra trong những kì thi, đặc biệt là HSG. Tuy nhiên trong box này mình chưa thấy có một topic nào thảo luận một cách có hệ thống chủ đề này, vì vậy mình lập topic này với mục đích học hỏi, là nơi thảo luận các bài toán về tam giác, hay bất đẳng thức tam giác. Hi vọng sẽ nhận được sự ủng hộ của mọi người
______________
Mở đầu topic là một bài đơn giản đề khởi động
Bài 1. Cho $\Delta ABC$, chứng minh các hệ thức sau
$a.\, \, \, \sum \sin A=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}} \\ \\ b. \, \, \, \sum \cos A=1+4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}} \\ \\ c.\, \, \, \sum \cos^2{\frac{A}{2}}=2+2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}$
Bài 2. (tramyvodoi)
$tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC$
Xử hết một lượt luôn !
Bài 1: $a)$ \[VT=2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}\]
\[= 2 \cos \frac{C}{2} ( \cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{C}{2} )\]
\[= 2 \cos \frac{C}{2}. 2. \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} = VP\]
$b)$ \[VT=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} + 1 - 2\sin^2 \frac{C}{2}\]
\[= 1+2\sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2})\]
\[=1+4\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=VP\]
$c)$ Áp dụng câu $b$ thôi: \[VT=\frac{1+\cos A}{2} + \frac{1+\cos B}{2} + \frac{1+\cos C}{2}\]
\[=1+4\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=VP\]
Bài 2: \[\tan (A+B) = -\tan C \to \frac{\tan A+ \tan B}{1-\tan A \tan B}= -\tan C\]
\[\to \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C (Q.E.D) \]
___
NLT
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-11-2012 - 18:29