Chủ đề này có 1 trả lời

[donghaidhtt]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} (x+y)\sqrt{1+x+y}+\sqrt{3-x-y}=2\sqrt{(x+y)^2+1}\\ x+y\geq \sqrt{2}\\ x-y=\sqrt{2}-1 \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 28-11-2012 - 00:43

[thienlonghoangde]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} (x+y)\sqrt{1+x+y}+\sqrt{3-x-y}=2\sqrt{(x+y)^2+1}\\ x+y\geq \sqrt{2}\\ x-y=\sqrt{2}-1 \end{matrix}\right.$$

Theo bất đẳng thức $Cauchy \; Schwarz$ ta có :
$$ (x+y)\sqrt{1+x+y}+\sqrt{3-x-y} \leq 2\sqrt{(x+y)^2+1} $$
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{x+y}{\sqrt{1+x+y}}=\sqrt{3-x-y} \iff (x+y)=\sqrt{(1+x+y)(3-x-y)}$
Đến đây ta chỉ việc bình phương.