Chủ đề này có 3 trả lời

[jb7185]

Tìm nguyên hàm: $f(x)=\frac{1}{cosx}$

[khong la gi ca]

Tìm nguyên hàm: $f(x)=\frac{1}{cosx}$

Cách 1:
Ta có:
$f(x) = \frac{1}{cosx} = \frac{cosxdx}{cos^{2}x} = \frac{cosx}{1 - sin^{2}x} = \frac{cosx}{ \left ( 1 - sinx \right ) \left ( 1 + sinx \right )}$
suy ra $\int f(x)dx = \int \frac{cosxdx}{ \left ( 1 - sinx \right ) \left ( 1 + sinx \right )}$

Đặt $t = sinx$ $\Rightarrow$ $dt = cosxdx$ thì
$\int f(x)dx = \int \frac{cosxdx}{ \left ( 1 - sinx \right ) \left ( 1 + sinx \right )}$
$= \int \frac{dt}{ \left ( 1 - t \right ) \left ( 1 + t \right )}$
$= \int \frac{1}{2}\left [ \frac{1-t+1+t}{\left ( 1-t \right )\left ( 1+t \right )} \right ]dt$
$= \int \frac{1}{2}\left [ \frac{1}{\left ( 1+t \right )} + \frac{1}{\left ( 1-t \right )} \right ]dt$
$= \frac{1}{2}\left ( ln\left | 1+t \right | - ln\left | 1-t \right | \right ) + C$
$= \frac{1}{2} ln\left | frac{1+sinx}{1-sinx} \right | + C$

Cách 2:
Ta có:
$\int f(x) dx = \int \frac{dx}{cosx} = \int \frac{ d\left( x + \frac{\pi}{2} \right) }{sin\left( x + \frac{\pi}{2} \right)}
= \int \frac{dt}{cost} = \int \frac{dt}{2 sin\frac{t}{2} cos\frac{t}{2} }
= \int \frac{dt}{ 2 tan\frac{t}{2} cos^{2} \frac{t}{2} }$
Đặt $u = tan\frac{t}{2}$ $\Rightarrow$ $du = \frac{dt}{2 cos^{2} \frac{t}{2} }$ thì
$\int f(x) dx = \int \frac{du}{u} = ln \left | u \right | + C = ln \left | tan\frac{t}{2} \right | + C$
$= ln \left | tan \left ( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right ) \right | + C$

[25 minutes]

Tìm nguyên hàm: $f(x)=\frac{1}{cosx}$

Đặt $t=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow dt=\frac{dx}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{dx}{2}(1+\tan^2\frac{x}{2})=\frac{x^2+1}{2}dx$

Lại có $cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

     $\Rightarrow I=\int \frac{1+t^2}{1-t^2}.\frac{2dt}{t^2+1}=\int \frac{2dt}{1-t^2}=\int \frac{dt}{1+t}+\int \frac{dt}{1-t}=\ln\left | 1+t \right |-\ln\left | 1-t \right |+C=\ln\left | \frac{1+t}{1-t} \right |+C=\ln\left | \frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}} \right |+C$

[kaori151]

tính giúp mình nguyên hàm này với ạ: x^2*cănbậchai(x^2+1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kaori151: 22-04-2018 - 22:37