Chủ đề này có 5 trả lời

[E. Galois]

Câu 1
Cho $AB$ là một dây cung (không phải đường kính) của đường tròn tâm $O$. Gọi $T$ là một điểm trên $OB$. Đường thẳng đi qua $T$ và vuông góc với $OB$ cắt $AB$ tại $C$ và đường tròn tại $D$ và $E$. Gọi $S$ là hình chiếu của $T$ trên $AB$. Chứng minh rằng $$AS. BC = TE. TD $$

Câu 2
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho $n^m-m$ chia hết $m^2+2m$

Câu 3
Tìm tất cả các số thực $x$ là nghiệm của phương trình:
$ \lfloor x^2-2x\rfloor+2\lfloor x\rfloor =\lfloor x\rfloor^2 $

Câu 4
Các số $ \frac{1}{1},\frac{1}{2},\cdots ,\frac{1}{2012} $ được viết lên một cái bảng. Aicha chọn bất kỳ hai số từ trên bảng, giả sử là $x$ và $y$, cô xóa chúng rồi viết vào chỗ đã xóa số $x+y+xy$. Cô tiếp tục để làm điều này cho đến khi chỉ có một số còn lại trên bảng. Các giá trị có thể có của số cuối cùng là bao nhiêu?

Câu 5
Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ thỏa mãn:
$ f(x^2-y^2) = (x+y)(f(x)-f(y)), \forall x, y $

Câu 6
(1) Tìm các góc của tam giác $ABC$ nếu chiều dài của đường cao từ đỉnh $B$ bằng độ dài trung tuyến từ đỉnh $C$ và độ dài đường cao từ đỉnh $C$ bằng độ dài trung tuyến từ đỉnh $B$

(2) Tìm tất cả các giá trị có thể có của $\widehat{ABC}$ trong tam giác $ABC$ nếu độ dài đường cao từ đỉnh $A$ bằng độ dài trung tuyến từ đỉnh $C$ và độ dài đường cao từ đỉnh $C$ bằng độ dài trung tuyến từ đỉnh $B$

[khong la gi ca]

Câu 1
Cho $AB$ là một dây cung (không phải đường kính) của đường tròn tâm $O$. Gọi $T$ là một điểm trên $OB$. Đường thẳng đi qua $T$ và vuông góc với $OB$ cắt $AB$ tại $C$ và đường tròn tại $D$ và $E$. Gọi $S$ là hình chiếu của $T$ trên $AB$. Chứng minh rằng $$AS. BC = TE. TD $$

Theo giả thiết $OB \perp DE$ do đó $OB$ là đường cao của $\bigtriangleup ODE$ cân tại $O$
Suy ra $OB$ là trung trực của $DE$

Ta có $AS.BC = \left ( AC + CS \right ) \left ( CS + SB \right )= CS^{2} + \left ( AC + SB \right ) CS + AC.SB$
$= CS^{2} + \left ( AB - CS \right ) CS + AC.SB = AB.CS + AC.SB$

Vậy để cm $AS.BC = TE.TD$ ta sẽ cm $AB.CS + AC.SB = TD^{2}$

Mặt khác $\bigtriangleup TBC$ vuông tại $T$ có $TS$ là đường cao cho ta:
$CS = \frac{TC^{2}}{BC}$ , $SB = \frac{TB^{2}}{BC}$ và $BC = \frac{TB.TC}{TS}$
nên đpcm tương đương với
$AB. \frac{TC^{2}}{BC} + AC. \frac{TB^{2}}{BC} = TD^{2}.\frac{TB.TC}{TS}$
$\Leftrightarrow$ $TS.AB.TC^{2} + TS.AC.TB^{2} = TD^{2}.TB.TC$
$\Leftrightarrow$ $2.S_{\bigtriangleup TAB}.\left (BC^{2} - TB^{2}\right ) + 2.S_{\bigtriangleup TAC}.TB^{2} = \left (DB^{2} - TB^{2} \right ).2.S_{\bigtriangleup TCB}$
$\Leftrightarrow$ $S_{\bigtriangleup TAB}.BC^{2} + S_{\bigtriangleup TAC}.TB^{2} + S_{\bigtriangleup TCB}.TB^{2} = DB^{2}S_{\bigtriangleup TCB} + S_{\bigtriangleup TAB}.TB^{2}$
$\Leftrightarrow$ $S_{\bigtriangleup TAB}.BC^{2}= DB^{2}S_{\bigtriangleup TCB}$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2}.AB.TS.BC^{2}= \frac{1}{2}TS.BC.DB^{2}$
$\Leftrightarrow$ $AB.BC = DB^{2}$

Xét $\bigtriangleup ADB$ và $\bigtriangleup DCB$ có $\widehat{ABD}$ chung và
$\widehat{DAB} = \widehat{CDB}$ ( do 2 góc này lần lượt chắn 2 cung BD và BE bằng nhau )
nên $\bigtriangleup ADB$ và $\bigtriangleup DCB$ đồng dạng với nhau
$\Rightarrow$ $\frac{AB}{DB} = \frac{DB}{CB}$ $\Rightarrow$ $AB.BC = DB^{2}$ $\Rightarrow$ đpcm.

[ilovemath97]

Tình hình là tớ tìm đc cách giải khác ngắn hơn cho bài hình
Có điều vì mới tham gia nên ko biết vẽ hình, thôi thì trình bày lun nhá
Ta vẽ BK là đường kính, và sẽ có AB.BC = BT.BK = DB.DB (DB mũ 2, vận dụng hệ thức lượng) (*)
Mà AB.BC=(AS + SB).BC= AS.BC + BT.BT ( là vì BT mũ 2 =SB.BC) (**)
Từ (*) và (**) suy ra DB.DB = AS.BC+ BT.BT (cùng bằng AB.BC).
Vây, AS.BC = DB.DB - BT.BT= DT mũ 2= DT.TE, đây là đpcm

[perfectstrong]

Bài 4:
Đặt $x_i=\dfrac{1}{i}\,\,i=\overline{1,n}$ trong đó $n=2012$.
Xét tích \[
S = \left( {x_1 + 1} \right)\left( {x_2 + 1} \right)...\left( {x_n + 1} \right)
\]
Khi thực hiện thao tác đã cho xóa đi 2 số $x_i;x_j$ và viết lại vào số $x_ix_j+x_i+x_j$ thì $S$ mất đi 1 lượng là $(x_i+1)(x_j+1)$ nhưng lại được thêm vào 1 lượng $x_i+x_j+x_ix_j+1=(x_i+1)(x_j+1)$. Như vậy $S$ là bất biến trong suốt quá trình thực hiện.
Ban đầu:\[
S = \left( {\frac{1}{1} + 1} \right)\left( {\frac{1}{2} + 1} \right)...\left( {\frac{1}{{2012}} + 1} \right) = \frac{2}{1}.\frac{3}{2}.....\frac{{2013}}{{2012}} = 2013
\]
Như vậy, số cuối cùng còn trên bảng là $2013$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-12-2012 - 14:41

[tranghieu95]

Câu 5
Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ thỏa mãn:
$ f(x^2-y^2) = (x+y)(f(x)-f(y)), \forall x, y $ (1)

Cho $x=y$ ta có: $f(0)=0$
Cho $y=0$ ta có: $f(x^2)=xf(x)$ (2)
Thay $x$ bởi $-x$ vào (2) ta có: $f(x^2)=-xf(-x)$
$\Rightarrow f(x)=-f(-x)$
$\Rightarrow$ f là hàm lẻ.
Thay $y$ bởi $-y$ vào (1) ta có: $f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y)$
$\Rightarrow (x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)(f(x)+f(y))$
$\Rightarrow xf(y)=yf(x)$
$\Rightarrow \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{f(y)}{y} , \forall x, y \in \mathbb{R}$
$\Rightarrow \dfrac{f(x)}{x}=C$ với C là hằng số
$\Rightarrow f(x)=Cx$ với C là hằng số (TMBT)

[tranghieu95]

Câu 2
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho $n^m-m$ chia hết $m^2+2m$

Nếu $n=1$ thì $m=1$
Nếu $n \ge 2$ thì $2^m-m \le n^m-m \le m^2+2m$
$\Rightarrow 2^m \le m^2+3m$
$\Rightarrow m \le 5$
Thay vào từng giá trị để tính.