Chủ đề này có 1 trả lời

[thien than cua gio]

Xét bốn số thực $x, y,z,t$thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right ]$ .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biẻu thức :
$P=9 \left ( \frac{x+z}{x+t} \right )^{2}+16\left ( \frac{z+t}{x+y} \right )^{2}$

[lehoanghiep]

Xét bốn số thực $x, y,z,t$thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right ]$ .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biẻu thức :
$P=9 \left ( \frac{x+z}{x+t} \right )^{2}+16\left ( \frac{z+t}{x+y} \right )^{2}$

Bài này là T8/413 THTT.
Mình trình bày lại lời giải bài toán như sau:
Tìm $min$:
$P\geq \frac{24\left ( x+z \right )\left ( z+t \right )}{\left ( x+t \right )\left ( x+y \right )}\geq \frac{24\left ( x+\frac{1}{2} \right )\left (\frac{1}{2}+t \right )}{\left ( x+t \right )\left ( \frac{2}{3}+\frac{2}{3} \right )}=\frac{18\left ( x+\frac{1}{2} \right )\left ( t+\frac{1}{2} \right )}{x+t}$.
Lại có $\frac{t+\frac{1}{2}}{x+t}=1-\frac{x-\frac{1}{2}}{x+t}\geq 1-\frac{x-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{x+\frac{1}{2}}$$\Rightarrow P\geq 18$.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{2}{3};z=t=\frac{1}{2}$.
Tìm $max$:
$\frac{x+z}{x+t}\leq \frac{x+\frac{2}{3}}{x+t}\leq 1+\frac{\frac{2}{3}-t}{\frac{1}{2}+t}=\frac{7}{3\left ( 2t+1 \right )}$.
$\frac{z+t}{x+y}\leq \frac{\frac{2}{3}+t}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\frac{3t+2}{3}$.
Do đó $P\leq \frac{49}{\left ( 2t+1 \right )^{2}}+\frac{16}{9}\left ( 3t+2 \right )^{2}=f\left ( t \right )$.
Hàm $f\left ( t \right )$ đồng biến trên $\left [ \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right ]$ suy ra $P\leq f\left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{337}{9}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2};z=t=\frac{2}{3}$. $\blacksquare$