Lời giải mà haisupham đã trình bày cho bổ đề của anh Thanh rất độc đáo,thế nhưng lời giải dưới đây sẽ cho chúng ta thấy sai phân từng phần ghê gớm đến thế nào !
Bây giờ ta xét công thức giai thừa của $(2n)!$ là :
$(2n)!=1.2.3.4....2n=(2.4.6...2n).(1.3.5...2n-1)=2^{n}.n!(2n-1)!!$
Ký hiệu $(2n-1)!!$ là giai thừa cách đôi.
Do đó :
$\binom{2n}{2k}\binom{n-k}{m-k}=\dfrac{(2n)!}{(2n-2k)!(2k)!}.\dfrac{(n-k)!}{(n-m)!(m-k)!}$
$=\dfrac{(2n)!}{(n-m)!}.\dfrac{(n-k)!}{2^{n-k}(n-k)!(2n-2k-1)!!2^{k}k!(2k-1)!!(m-k)!}$
$=\dfrac{(2n)!}{2^{n}(n-m)!m!}.\dfrac{\binom{m}{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}$
Như vậy :
$$\sum_{k=0}^{m}\binom{2n}{2k}\binom{n-k}{m-k}=\dfrac{(2n)!}{2^{n}(n-m)!m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom{m}{k}.\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}$$
Theo sai phần từng phần với :
$\Delta f(k)=(-1)^{k}\binom{m-1}{k}-(-1)^{k-1}\binom{m-1}{k-1}=(-1)^{k}\binom{m}{k}$
$\Delta g(k)=\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!!(2n-2k-3)!!}-\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}$
$=(-1)^{k+1}.\dfrac{2n-2k-1+2k+1}{(2k+1)!!(2n-2k-1)!!}=2n.\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2n-2k-1)!!(2k+1)!!}$
Ta có:
$\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom{m}{k}.\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}$
$=(-1)^{k-1}\binom{m-1}{k-1}.\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}\Bigg|_{k=0}^{m+1}$
$-2n.\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom{m-1}{k}.\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!!(2n-2k-1)!!}$
$=2n\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{\binom{m-1}{k}}{(2k+1)!!(2n-2k-1)!!}$
Tiếp tục sai phân với :
$\Delta f(k)=(-1)^{k}\binom{m-2}{k}-(-1)^{k-1}\binom{m-2}{k-1}=(-1)^{k}\binom{m-1}{k}$
$\Delta g(k)=\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2n-2k-3)!!(2k+3)!!}-\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k+1)!!}$
$=(-1)^{k+1}.\dfrac{2n-2k-1+2k+3}{(2n-2k-1)!!(2k+3)!!}=(2n+2).\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2n-2k-1)!!(2k+3)!!}$
Ta thu được :
$2n\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{\binom{m-1}{k}}{(2k+1)!!(2n-2k-1)!!}$
$=(2n)(-1)^{k-1}\binom{m-2}{k-1}.\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k+1)!!}\Bigg|_{k=0}^{m}$
$-(2n)(2n+2)\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k}\binom{m-2}{k}.\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2n-2k-1)!!(2k+3)!!}$
$=(2n)(2n+2)\sum_{k=0}^{m-2}\dfrac{\binom{m-2}{k}}{(2n-2k-1)!!(2k+3)!!}$
Cứ sai phân như vậy đến $m$ lần,ta sẽ có :
$\sum_{k=0}^{m}\binom{2n}{2k}\binom{n-k}{m-k}=\dfrac{(2n)!}{2^{n}(n-m)!m!}\cdot\left[(2n)(2n+2)...(2n+2m-2)\sum_{k=0}^{m-m}\dfrac{\binom{m-m}{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1+2m)!!}\right]$
$=\dfrac{(2n)!}{2^{n}(n-m)!m!}\cdot\dfrac{2^m.n(n+1)...(n+m-1)}{(2n-1)!!(2m-1)!!}$
$=\dfrac{2^n.n!(2n-1)!!2^m.n(n+m-1)!}{2^n(n-m)!m!(2m-1)!!(2n-1)!!n!}$
$=\dfrac{2^{2m}.n(n+m-1)!}{(n-m)!(2m)!}$
$=2^{2m-1}\left[{n+1+m\choose 2m+1}-{n-1+m\choose 2m+1}\right]$
_________________
@hxthanh: Cảm ơn em nhiều, lời giải quá tuyệt!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 01-01-2013 - 09:58