Chủ đề này có 6 trả lời

[BlackSelena]

Phòng GD-ĐT Quận Cầu GIấy Đề thi HSG Lớp 9 cấp trường năm học 2012-2013
Trường THCS Yên Hoà Môn: Toán. Thời gian: 120'


Bài 1:
a, Tính giá trị biểu thức $A = \frac{(x^2+x-3)^{2011}}{(x^5+x^4-x^3-2)^{2011}} + (x^5 +x^4 - x^3 + 1)^{2011}$ với $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
b, CMR: $\forall n \in \mathbb{Z}$ thì ta có $B = n^3 + 11n \vdots 6$

Bài 2:
a, Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2(y-1) + y^2(x-1) = 1$
b, Cho $a,b,c$ là các số thực dương, tìm min biểu thức:
$P = \frac{a+3c}{a+2b+c} + \frac{4b}{a+b+2c} - \frac{8c}{a+b+3c}$

Bài 3:
a, GPT: $\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{2x^2+5x+3} - 16$
b, CMR: $\frac{87}{89} < \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{2011\sqrt{2010}} < \frac{88}{45}$

Bài 4:
Cho $(O:R)$, $A$ cố định ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ tới đường tròn ($B,C$ là các tiếp điểm). Đường thẳng $(d)$ di động qua $A$ cắt $(O)$ tại $D,E$ sao cho $D$ nằm giữa $A$ và $E$. Vẽ $OH \perp d = H$.
a, CMR: $B,C,H,O$ đồng viên
b, Xác định vị trí $(d)$ đề $AD + AE - AH$ lớn nhất.
c, Tiếp tuyến tại $D,E$ với $(O)$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh $M$ thuộc đường thằng cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 30-11-2012 - 18:13

[WhjteShadow]

Bài 2:
a, Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2(y-1) + y^2(x-1) = 1$
Bài 3:
b, CMR: $\frac{87}{89} < \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{2011\sqrt{2010}} < \frac{88}{45}$

Làm ch0 em 2 câu bí này :-"
2,a)
Phương trình tương đương:
$$xy(x+y)-(x+y)^2+2xy=1$$
Đặt $x+y=S,xy=P$ ($S,P\in Z,S^2\geq 4P$) thì phương trình được viết lại thành:
$$SP-S^2+2P-1=0$$
$$\Leftrightarrow P(S+2)-S^2+4=5$$
$$\Leftrightarrow (P-S+2)(S+2)=5$$
Đến đây xét ước x0ng tý Viète đảo là OK ^^~
3,b)
Ta chỉ cần để ý đến bất đẳng thức :
$$\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{a}(a+1)}\leq 2.\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}}\right)$$
Sau đó áp dụng vô là x0ng :")

[tramyvodoi]

Mình xin giải bài $1b$ :
Ta có $n^{3} + 11n = n^{3} - n + 12n$
mà $12n$ $\vdots$ $6$
$n^{3} - n = n(n-1)(n+1)$
$n$ $,$ $n-1$ $,$ $n + 1$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp nên trong $3$ số này có $1$ số $\vdots$ $3$.
$n$ $,$ $n - 1$ là $2$ số tự nhiên liên tiếp nên $n(n-1)$ $\vdots$ $2$
$n(n-1)(n+1)$ $\vdots$ $2$, $\vdots$ $3$. Mà $(2,3) = 1$
$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-12-2012 - 15:00

[thanhluong]

Bài 3:
a, GPT: $\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{2x^2+5x+3} - 16$

Bài 3a có thể giải bằng cách bình phương 2 vế của phương trình, tuy nhiên vẫn có thể đặt ẩn phụ để giảm bớt sự nhọc công:
ĐKXĐ: $x \geq -1$.
Đặt $\sqrt{2x+3}=a >0$, $\sqrt{x+1}=b \geq 0$. PT đã cho có thể viết lại thành:
$a+b=a^2+b^2-4+2ab-16$
$\Leftrightarrow a+b+4=(a+b)^2-16$
$\Leftrightarrow a+b+4+(a+b-4)(a+b+4)=0$
$\Leftrightarrow (a+b+4)(a+b-3)=0$
$\Rightarrow a+b=3$
Đến đây chắc dễ rồi.

b, Cho $a,b,c$ là các số thực dương, tìm min biểu thức:
$P = \frac{a+3c}{a+2b+c} + \frac{4b}{a+b+2c} - \frac{8c}{a+b+3c}$

Câu cực trị đã được giải quyết ở đây http://toanphothong....read.php?t=8002

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhluong: 29-11-2012 - 23:23

[BlackSelena]

Bài 3a có thể giải bằng cách bình phương 2 vế của phương trình, tuy nhiên vẫn có thể đặt ẩn phụ để giảm bớt sự nhọc công:
ĐKXĐ: $x \geq -1$.
Đặt $\sqrt{2x+3}=a >0$, $\sqrt{x+1}=b \geq 0$. PT đã cho có thể viết lại thành:
$a+b=a^2+b^2-4+2ab-16$
$\Leftrightarrow a+b+4=(a+b)^2-16$

Chỗ này phân tích nhân tử ta $(a+b-5)(a+b+4)=0$ hay sao mà ^^~

[BlackSelena]

Em xin up lời giải câu hình (cuối)

Ta sẽ chứng minh $\overline{MBC}$
Thật vậy, hạ $MP \perp OA$ thì ta sẽ chứng minh $P:const$ hay là $OP:const$
$OM \cap ED = {I}$
Dễ dàng chứng minh $\triangle OPM \sim \triangle OIA$
$\Rightarrow OI.OM = OP.OA$
Nhưng $OI.OM = OD^2 = R^2:const$
Nên $OP.OA:const$
$\Rightarrow OP = \frac{R^2}{OA}:const$
Nên $P:const$, vậy ta có đpcm ! ^^~

[nghiakvnvsdt]

Bài 3:
a, GPT: $\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{2x^2+5x+3} - 16$

Bài 3 có 1 cách rất hay :-P

Đặt $t= \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1} \geq 0$
$=> t^2= 3x+4+2\sqrt{2x+3}\sqrt{x+1}=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}$
Vậy ta có:
$t=t^2-20$
$<=> t=5 , t=-4 (loại)$
$Với t = 5 => \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1} =5$
tới đây đã giống bạn trên .....