Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{xz+1}\geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 danganhaaaa

danganhaaaa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Thái Bình

Đã gửi 30-11-2012 - 22:33

Cho x+y+z=3 và x,y,z >0. Chứng minh rằng
$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{xz+1}\geq \frac{3}{2}$
Tiện thể ai làm hộ tớ bài GPT hôm trước tớ đăng nhé! :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi danganhaaaa: 30-11-2012 - 22:34

ĐĂNG ANH VÍP BRỒ 97

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-12-2012 - 18:19

Cho x+y+z=3 và x,y,z >0. Chứng minh rằng
$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{xz+1}\geq \frac{3}{2}$

Lấy 3 trừ đi mỗi vế, bất đẳng thức được viết lại dưới dạng:
$$x-\frac{x}{xy+1}+y-\frac{y}{yz+1}+z-\frac{z}{zx+1}\leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x^2y}{xy+1}+\frac{y^2z}{yz+1}+\frac{z^2x}{zx+1}\leq \frac{3}{2}$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$xy+1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow \frac{x^2y}{xy+1}\leq \sqrt{x^3y}$$
Tương tự và cộng lại thì ta chỉ cần chứng minh:
$$\sqrt{x^3y}+\sqrt{y^3z}+\sqrt{z^3x}\leq 3$$
Đổi biến $(x;y;z)\to (a^2;b^2;c^2)$ thì ta cần chứng minh:
$$3(a^3b+b^3c+c^3a)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$$
Sử dụng BĐT quen thuộc $(X+Y+Z)^2 \ge 3(XY+YZ+ZX)$ với $X=a^2+bc-ab;Y=b^2+ca-bc;Z=c^2+ab-ca$,chúng ta thu được:
$$\sum (a^2+bc-ab)]^2 \ge 3\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)$$
Bằng cách khai triển trực tiếp,ta thu được:
$$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2$$
$$\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a$$
Như vậy,ta có:
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$

Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=1$ $\blacksquare$

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh