Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{xz+1}\geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
danganhaaaa

danganhaaaa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
Cho x+y+z=3 và x,y,z >0. Chứng minh rằng
$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{xz+1}\geq \frac{3}{2}$
Tiện thể ai làm hộ tớ bài GPT hôm trước tớ đăng nhé! :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi danganhaaaa: 30-11-2012 - 22:34

ĐĂNG ANH VÍP BRỒ 97

#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cho x+y+z=3 và x,y,z >0. Chứng minh rằng
$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{xz+1}\geq \frac{3}{2}$

Lấy 3 trừ đi mỗi vế, bất đẳng thức được viết lại dưới dạng:
$$x-\frac{x}{xy+1}+y-\frac{y}{yz+1}+z-\frac{z}{zx+1}\leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x^2y}{xy+1}+\frac{y^2z}{yz+1}+\frac{z^2x}{zx+1}\leq \frac{3}{2}$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$xy+1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow \frac{x^2y}{xy+1}\leq \sqrt{x^3y}$$
Tương tự và cộng lại thì ta chỉ cần chứng minh:
$$\sqrt{x^3y}+\sqrt{y^3z}+\sqrt{z^3x}\leq 3$$
Đổi biến $(x;y;z)\to (a^2;b^2;c^2)$ thì ta cần chứng minh:
$$3(a^3b+b^3c+c^3a)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$$
Sử dụng BĐT quen thuộc $(X+Y+Z)^2 \ge 3(XY+YZ+ZX)$ với $X=a^2+bc-ab;Y=b^2+ca-bc;Z=c^2+ab-ca$,chúng ta thu được:
$$\sum (a^2+bc-ab)]^2 \ge 3\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)$$
Bằng cách khai triển trực tiếp,ta thu được:
$$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2$$
$$\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a$$
Như vậy,ta có:
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$

Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=1$ $\blacksquare$
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh