Chủ đề này có 1 trả lời

[ElKun]

$x^{x+2}=(x+2)^x$
nhìn thật là đẹp đấy nhưng mình thật sự không biết giải sao,mong mọi người chỉ giúp,cám ơn

Cách đặt tiêu đề bài viết + latex đã thay đổi. Xem thêm tại đây và đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ElKun: 04-12-2012 - 23:22

[Ispectorgadget]

$x^{x+2}=(x+2)^x$

Điều kiện $x>0$
Lấy logarith Napier 2 vế $\Leftrightarrow x\ln(x+2)-(x+2)lnx=0$
Xét $f(x)=x\ln(x+2)-(x+2)lnx trên (0;+\infty)$
$$f’(x)=\ln(x+2)+\dfrac{x}{x+2}- lnx-\dfrac{x+2}{x} \\ = \ln\dfrac{x+2}{x}+1-\dfrac{2}{x+2}-1-\dfrac{2}{x}\\ =\ln\left (1+\dfrac{2}{x}\right )-\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+2}$$
Xét $g(t)=\ln (1+t )-t trên [0;+\infty)$
$g’(t)=\dfrac{1}{1+t}-1=\dfrac{-t}{1+t} \le 0, \, \forall t \in [0;+\infty)$
Nên $g(t)$ nghịch biến: $g(t) < g(0) , \, \forall t>0 \Leftrightarrow \ln (1+t )-t <0 , \, \forall t >0$
Suy ra $\ln\left (1+\dfrac{2}{x}\right )-\dfrac{2}{x} <0 \Rightarrow f’(x) =\ln\left (1+\dfrac{2}{x}\right )-\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+2}<0 , \, \forall x >0$
$f(x)$ nghịch biến trên $(0;+\infty)$
mà $f(2)$ = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-12-2012 - 10:11