Cho $\Delta ABC$ có $M$ nằm trong tam giác, qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác và tạo thành ba tam giác nhỏ có diện tích là $S_1; S_2; S_3$. Tìm vị trí điểm M để $S_1+S_2+S_3$ nhỏ nhất
Tìm vị trí điểm M để $S_1+S_2+S_3$ nhỏ nhất
Bắt đầu bởi yellow, 02-12-2012 - 05:22
#1
Đã gửi 02-12-2012 - 05:22
yellow
-
- Pre-Member
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#2
Đã gửi 02-12-2012 - 08:34
nvhmath
-
- Thành viên
-
- 43 Bài viết
Binh nhất
Theo định lý Thales, ta chứng minh được $\sqrt{\frac{S_1}{S_{ABC}}}+\sqrt{\frac{S_2}{S_{ABC}}}+\sqrt{\frac{S_3}{S_{ABC}}}=1$
$\Rightarrow S_1+S_2+S_3\geq \frac{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2}{3}=\frac{S_{ABC}}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $MA, MB, MC$ là các đường trung tuyến hay $M$ là trọng tâm $\triangle ABC$.
$\Rightarrow S_1+S_2+S_3\geq \frac{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2}{3}=\frac{S_{ABC}}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $MA, MB, MC$ là các đường trung tuyến hay $M$ là trọng tâm $\triangle ABC$.
- yellow yêu thích
NVH
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
