1 reply to this topic

[tieulyly1995]

Cho hàm số $f :N^{*} \to N^{*}$ thỏa mãn :
+ $f(f(n))= 3n$
+ $f$ tăng ngặt trên $N^{*} $
Tính $f(2013)$

[phatthientai]

Cho hàm số $f :N^{*} \to N^{*}$ thỏa mãn :
+ $f(f(n))= 3n$
+ $f$ tăng ngặt trên $N^{*} $
Tính $f(2013)$

Bài này áp dụng truy hồi
Đặt $f\left( n \right)={{u}_{1}};n={{u}_{0}}$, ta có ${{u}_{n+2}}=3{{u}_{n}}$ mà dãy này có CTTQ là $$A{{\left( \sqrt{3} \right)}^{n}}+B{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{n}}$$
Cho $n=0$ thì $x=A+B$, Cho $n=1$ thì $f\left( x \right)=A\sqrt{3}-B\sqrt{3}$
Từ đây ta có $$\left[ \begin{align}
& f\left( n \right)=2A\sqrt{3}-n\sqrt{3} \\
& f\left( n \right)=n\sqrt{3}-2B\sqrt{3} \\
\end{align} \right.$$
Do đây là dãy tăng nên nhận $f\left( n \right)=n\sqrt{3}-2B\sqrt{3}$, thay vào trở lại, ta được $B=0$ hay $f\left( n \right)=n\sqrt{3}$ từ đó suy ra $$f\left( 2013 \right)=2013\sqrt{3}$$
Mình thấy sao sao ấy, vì đây là hàm $f:{{\mathbb{N}}^{*}}\to {{\mathbb{N}}^{*}}$ nên có vẻ không ổn cho lắm

Edited by phatthientai, 02-12-2012 - 09:38.