Chủ đề này có 217 trả lời

[Tienanh tx]

Bài luyên thi số 5:

b)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$B=\frac{x+2y+1}{x^2+y^2+7}$

Tìm $Min$ nhé: ($Max$ Oral1020 trã lời rồi)
$Solution$ Làm như sau:
$B = \begin{bmatrix}
\dfrac{x+2y+1}{x^2+y^2+7} + \dfrac{5}{14}
\end{bmatrix}- \dfrac{5}{14}$
$\Longleftrightarrow$ $B= \dfrac{5x^2+5y^2+14x+28y+49}{14(x^2+y^2+z^2)} - \dfrac{5}{14} = \dfrac{5(\dfrac{7}{5} + x)^2 + 5(\dfrac{14}{5} + y)^2}{14(x^2+y^2+z^2)} - \dfrac{5}{14} \ge -\frac{5}{14}$
Vậy $B$ đạt $MIN=\dfrac{-5}{14}$ $\Longleftrightarrow$ $ (x,y)=(\dfrac{-7}{5},\dfrac{-14}{5})$

[Tienanh tx]

Bài luyên thi số 5:

Bài 6:Cho các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ac} \ge 9+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a})$
____________

$\oplus$ Ta có $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a} \ge \frac{3}{2}$ $(BĐT Nashbitt)$
$\Longleftrightarrow$ $2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}) \ge 3$
$\oplus$ Ta chĩ cần chứng minh $ \frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ac} \ge 9+3=12$
Thật vậy, áp dụng Bđt $AM-GM$, ta được:
$\frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ac} \ge \frac{4ab}{ab}+\frac{4bc}{bc}+\frac{4ca}{ac} = 4+4+4 = 12$
$Q.E.D$

[Oral1020]

Tìm $Min$ nhé: ($Max$ Oral1020 trã lời rồi)
$Solution$ Làm như sau:
$B = \begin{bmatrix}
\dfrac{x+2y+1}{x^2+y^2+7} + \dfrac{5}{14}
\end{bmatrix}- \dfrac{5}{14}$
$\Longleftrightarrow$ $B= \dfrac{5x^2+5y^2+14x+28y+49}{14(x^2+y^2+z^2)} - \dfrac{5}{14} = \dfrac{5(\dfrac{7}{5} + x)^2 + 5(\dfrac{14}{5} + y)^2}{14(x^2+y^2+z^2)} - \dfrac{5}{14} \ge -\frac{5}{14}$
Vậy $B$ đạt $MIN=\dfrac{-5}{14}$ $\Longleftrightarrow$ $ (x,y)=(\dfrac{-7}{5},\dfrac{-14}{5})$

Hơi lỗi một chút.Dưới mẫu không có $z$ bạn nhé

[Oral1020]

$\oplus$ Ta có $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a} \ge \frac{3}{2}$ $(BĐT Nashbitt)$
$\Longleftrightarrow$ $2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}) \ge 3$
$\oplus$ Ta chĩ cần chứng minh $ \frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ac} \ge 9+3=12$
Thật vậy, áp dụng Bđt $AM-GM$, ta được:
$\frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ac} \ge \frac{4ab}{ab}+\frac{4bc}{bc}+\frac{4ca}{ac} = 4+4+4 = 12$
$Q.E.D$

Bài bạn hoàn toàn sai.Như của bạn thì $A \ge B \ge C$ thì ta sẽ chứng minh nó đúng thì $A \ge C$ thì $A \ge B$ sao
Mệnh đề sau đề là sai :
$\left\{\begin{matrix}
A \ge C\\ B \ge C

\end{matrix}\right.$
$\Longrightarrow A \ge B$

[DarkBlood]

Bài luyên thi số 5:
Bài 1:
b)Chứng minh phương trình sau vô số nghiệm:
$x(x-2y)-3y^2=0$

Ta có: $x(x-2y)-3y^2=0$
$\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2-4y^2=0$
$\Leftrightarrow (x-y)^2-4y^2=0$
$\Leftrightarrow (x-y-2y)(x-y+2y)=0$
$\Leftrightarrow (x-3y)(x+y)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=3y\\ x=-y \end{bmatrix}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm.

[DarkBlood]

Bài luyện tập số 6:

Bài 1:
$a)$ Chứng minh rằng số $A=(n+1)^4+n^4+1$ chia hết cho một số chính phương khác $1$ với mọi số $n$ nguyên dương.
$b)$ Cho $B=a^2+b^2+c^2,$ trong đó $a$ và $b$ là hai số tự nhiên liên tiếp, $c=ab.$ Chứng minh rằng $\sqrt{B}$ là một số tự nhiên lẻ.
Bài 2: Cho $x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$ $y=\frac{a^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2}.$
Tính giá trị của biểu thức $x+y+xy.$
Bài 3: Giải phương trình:
$a)$ $4\left ( x^3+\frac{1}{x^3}\right )=13\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

$b)$ $\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+2}+\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+3}=\frac{7}{6}$

$c)$ $\frac{2a+b+c-3x}{a}+\frac{a+2b+c-3x}{b}+\frac{a+b+2c-3x}{c}=6-\frac{9x}{a+b+c}$ $(a,$ $b,$ $c$ là tham số$)$
Bài 4: Cho lục giác đều $ABCDEF.$ Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $CD$ và $DE.$ $AI$ cắt $BK$ tại $P.$
Chứng minh rằng $S_{ABP}=S_{IDKP}$
Bài 5: Cho $BEDF$ là hình thoi nội tiếp tam giác $ABC$ $(E\in AB;$ $D\in AC;$ $F\in BC).$ Biết $BC=a;$ $AB=c,$ tính $BE$ theo $a,$ $c.$
Bài 6: Cho $A=\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.\frac{6}{5}...\frac{200}{199}.$ Chứng minh rằng $14<A<20.$
___________________________________________

Mấy bài làm rồi mình sẽ bôi đỏ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 22-01-2013 - 21:07

[triethuynhmath]

Bài luyện tập số 6:

Bài 1:
$a)$ Chứng minh rằng số $A=(n+1)^4+n^4+1$ chia hết cho một số chính phương khác $1.$
$b)$ Cho $B=a^2+b^2+c^2,$ trong đó $a$ và $b$ là hai số tự nhiên liên tiếp, $c=ab.$ Chứng minh rằng $\sqrt{B}$ là một số tự nhiên lẻ.

a) Có điều kiện $n$ nguyên chứ??? $(n+1)^4+n^4+1=2n^2(n+1)^2\vdots n^2(n+1)^2$ là số chính phương khác $1$ (Phương trình: $\begin{bmatrix} n^2+n+1=0 \\ n^2+n-1=0 \end{bmatrix}$ vô nghiệm nguyên)
b)Đặt $a=n,b=n+1$ thì $c=n(n+1)$
Ta có: $B=n^2+(n+1)^2+(n^2+n)^2=(n^2+n+n+1-n)^2-2((n+1)(n^2+n)-n(n^2+n)-n(n+1))=(n^2+n+1)^2\Rightarrow \sqrt{B}=n^2+n+1$ tự nhiên lẻ

[triethuynhmath]

Bài 2: Cho $x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$ $y=\frac{a^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2}.$
Tính giá trị của biểu thức $x+y+xy.$

$x+y+xy=(x+1)(y+1)-1=(\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc})(\frac{a^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2}+1)-1=(\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc})(\frac{(b+c)^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2})-1=1$

[triethuynhmath]

Bài 3: Giải phương trình:
$a)$ $4\left ( x^3+\frac{1}{x^3}\right )=13\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

$b)$ $\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+2}+\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+3}=\frac{7}{6}$

$c)$ $\frac{2a+b+c-3x}{a}+\frac{a+2b+c-3x}{b}+\frac{a+b+2c-3x}{c}=6-\frac{9x}{a+b+c}$ $(a,$ $b,$ $c$ là tham số$)$

Ý tưởng chính:$a)4(x+\frac{1}{x})^3-12(x+\frac{1}{x})=13(x+\frac{1}{x})\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})(4(x+\frac{1}{x})^2-25)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2} \\ x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2} ... \end{bmatrix}$
b) Đặt $a=x^2+2x+2$
$\frac{a-1}{a}+\frac{a}{a+1}=\frac{7}{6}\Leftrightarrow \frac{a^2-1+a^2}{a^2+a}=\frac{7}{6}\Leftrightarrow 12a^2-6=7a^2+7a\Leftrightarrow 5a^2-7a-6=0\Leftrightarrow ...$
c) Phương trình tương đương: $6+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}=3x(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{3}{a+b+c})\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=3x(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{3}{a+b+c})$ Đến đây giải biện luận phương trình bậc nhất bình thường
:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 20-01-2013 - 15:12

[Oral1020]

Bài 2:
HD:Dựng hình bình hành NMPP’ ta có :
PM + MN + NQ = PP’ + P’N + NQ
Do PP’ = const . Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì P’N +NQ nhỏ nhất .
$\Longrightarrow $P’,N,Q thẵng hàng .
$\Longrightarrow$ Dễ dàng tìm được cách dựng .

[Tienanh tx]

Bài luyện tập số 6:

Bài 4: Cho lục giác đều $ABCDEF.$ Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $CD$ và $DE.$ $AI$ cắt $BK$ tại $P.$
Chứng minh rằng $S_{ABP}=S_{IDKP}$

$Proof:$
$\oplus$ Nối $BD$ và $CA$
$\oplus$ Vì $ABCDEF$ là lục giác đều $\Longrightarrow$ $ \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{D} = \widehat{C} = \widehat{E} = \widehat{F} = 120^\circ$
$\oplus$ Dễ thấy $\Delta{ABC} = \Delta{BCD}$ $(c-g-c)$ $(1)$
$\Longrightarrow$ $AC = BD$
$\Longrightarrow$ $\widehat{ACB} = \widehat{BDC} = \frac{180^\circ- \widehat{BCD}}{2}= 30^\circ$
$\Longrightarrow$ $\widehat{BDK} = \widehat{ACI} = 90^\circ$
$\oplus$ Dễ thấy $\Delta{BDK} = \Delta{ACI}$ $(c-g-c)$ $(2)$
$\oplus$ Từ $(1)$ và $(2)$ $\Longrightarrow$ $S_{BCDK} = S_{ABCI}$
$\Longleftrightarrow$ $S_{PIDK} + S_{BCIP} = S_{ABP}+ S_{BCIP}$
$\Longrightarrow$ $S_{PIDK} = S_{ABP}$
$\Longrightarrow$ $Q.E.D$

[Nguyen Duc Thuan]

MÌnh xin đóng góp:
Bài *: Giải hệ 2 PT sau:
x+y+xy=8
x^2y+y^2x=16

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 21-01-2013 - 18:23

[Oral1020]

MÌnh xin đóng góp:
Bài *: Giải hệ 2 PT sau:
x+y+xy=8
x^2y+y^2x=16

Bài này không khó.
Ta có:
$x^2y+y^2x=xy(x+y)$
Tới đây đặt $S=x+y$ và $P=xy$,ta có:
$\left\{\begin{matrix}
S+P=8\\SP=16

\end{matrix}\right.$
Theo định lí Viete,ta có $S$ và $P$ là hai nghiệm cùa phương trình:
$X^2-8X+16=0$
$\Longleftrightarrow X=4$
Vậy $S=P=4$
$\Longrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+y=4\\xy=4

\end{matrix}\right.$
Lại áp dụng định lí Viete,ta có $x$ và $y$ là hai nghiệm của phương trình:
$Y^2-4Y+4=0$
$\Longleftrightarrow Y=2$
Vậy $x=y=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 21-01-2013 - 19:51

[Tienanh tx]

Đề số luyện tập số 07 :
$\mathfrak{Bài toán 1:}$ Phân tích đa thức thành nhân tử: (làm nhiều cách (nếu được), trình bày cụ thể, nêu luôn hướng giãi nhé)
$a,$ $x^{10} + x^5+1$
$b,$ $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-80$
$c,$ $ 2x^4-19x^3+2002x^2-9779x+11670$
$d,$ $ 2x^2-7xy+6y^2+9x-13y-5$
$e,$ $ \sum a(a+b-c)^2 + \sum (a+b-c)$
$f,$ $ \sum (x-y) ^3$
$g,$ $(x-+y+z)^3 - (x+y-z)^3 - (x-y-z)^3$

$\mathfrak{Bài toán 2:}$ Chứng minh rằng :
$a,$ $\frac{n}{12} + \frac{n^2}{8} + \frac{n^3}{24} \in Z$ $(\forall n \in Z)$
$b,$ Tổng bình phương cũa năm số nguyên liên tiếp không thễ là số chính phương.
$c,$ $2^{4n}-1 \vdots 15$
$d,$ Tìm nghiệm nguyên cũa phương trình: $(x+y)^2 = (x-1)(y+1)$

$\mathfrak{Bài toán 3:}$ Giãi phương trình:
$ a,$ $ \dfrac{\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2005}\end{pmatrix}x}{2004+\dfrac{2003}{2}+\dfrac{2002}{3}+...+ \dfrac{1}{2004}}=2005$
$b,$ $(x^4+3x^2-4) \sqrt{2x-1} = 0$
$c,$ $4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)=3x^2$
$d,$ $x^6-3x^5+6x^4-7x^3-3x+1=0$
$e,$ $(x+2)^2+(x+3)^3+(x+4)^4=2$
$f,$ $ 3(x^2-x+1)^2-2(x+1)^2=5(x^3+1)$
$g,$ $5\begin{pmatrix}\dfrac{x-2}{x+1}\end{pmatrix}^2 - 44\begin{pmatrix}\dfrac{x+2}{x-1}\end{pmatrix}^2 + 12\begin{pmatrix}\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\end{pmatrix} = 0$


$\mathfrak{Bài toán 4:}$$(*)$Cho $\Delta{ABC}$ nhọn, có $AH$ là đường cao. Gọi $E,F$ lần lượt là điểm đối xứng cũa $H$ qua các cạnh $AB,AC$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm cũa $EF$ với $AB,AC$. Chứng minh rằng : $MC \bot AB$ và $NB \bot AC$

$\mathfrak{Bài toán 5:}$ $(*)$Cho $\Delta{ABC}$, gọi $h_a , h_b, h_c$ lần lượt là hình chiếu kẽ từ $A,B,C$ và $(\dfrac{h_a}{h_b})^2 + (\dfrac{h_a}{h_c})^ 2 = 1$ . Chứng minh rằng: $\Delta{ABC}$ là tam giác vuông

$\mathfrak{Bài toán 6:}$ Cho hình thang cân $ABCD$ $(AB// DC, AB < DC)$. $AB= 4 , CD = 8 , S_{ABCD} = 18$. Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và $BC$, $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $DC$.
$a,$ Chứng minh rằng: $EM \bot AB$
$b,$ Chứng minh rằng: $E,M,N$ thẳng hàng
$c,$ Tính độ dài đường cao của hình thang. Tính $AC$
$d,$ Tính $S_{AEB}$
___________________________
P/s: Bài $(*)$ là bài khó nhé , các bạn giãi bằng nhiều cách mổi bài thì tốt nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienanh1999bp: 21-01-2013 - 21:55

[Oral1020]

1a)
$(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$
b)$(x^2-5x-4)(x^5-5x+4)$
c)$(x-3)(x-2)(2x^2-9x+1945)$
d)$(2x-3y-1)(x-2y+5)$
e)$4abc$
f)$3(x-y)(y-z)(z-x)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 21-01-2013 - 22:06

[DarkBlood]

$g,$ $5\begin{pmatrix}\dfrac{x-2}{x+1}\end{pmatrix}^2 - 44\begin{pmatrix}\dfrac{x+2}{x-1}\end{pmatrix}^2 + 12\begin{pmatrix}\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\end{pmatrix} = 0$

$($ĐK: $x\neq \pm 1)$
Đặt $\dfrac{x-2}{x+1}=a$, $\dfrac{x+2}{x-1}=b$, khi đó $\dfrac{x^2-4}{x^2-1}=ab$
Ta có:
$5a^2-44b^2+12ab=0$
$\Leftrightarrow $ $(5a+22b)(a-2b)=0$
$\Leftrightarrow $ $5a+22b=0$ hoặc $a-2b=0$
$\Leftrightarrow $ $5\dfrac{x-2}{x+1}+22\dfrac{x+2}{x-1}=0$ hoặc $\dfrac{x-2}{x+1}-2\dfrac{x+2}{x-1}=0$
$\Leftrightarrow $ $27x^2+51x+54=0$ hoặc $x^2+9x+2=0$

Trường hợp 1:
$27x^2+51x+54=0$
$27\left ( x^2+\frac{51}{27}x +2\right )=0$
$x^2+\frac{51}{27}x +2=0$
$\left ( x+\frac{51}{54} \right )^2+\frac{359}{324}=0$
$\Rightarrow $ Vô nghiệm!

Trường hợp 2:
$x^2+9x+2=0$
$\left ( x+\frac{9}{2} \right )^2-\frac{73}{4}=0$
$\left ( x+\frac{9}{2} \right )^2=\frac{73}{4}$
$x+\frac{9}{2}=\sqrt{\frac{73}{4}}$ hoặc $x+\frac{9}{2}=-\sqrt{\frac{73}{4}}$
$x=\frac{-9+\sqrt{73}}{2}$ hoặc $x=\frac{-9-\sqrt{73}}{2}$. $($TMĐK$)$

Vậy $x=\frac{-9+\sqrt{73}}{2},x=\frac{-9-\sqrt{73}}{2}$.

[Oral1020]

2a)http://diendantoanho...học-hay-va-kho/
b)Gọi .....,ta có:
$A=(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$
$=5(n^2+2)$
$\Longrightarrow A \vdots 5$
$\Longleftrightarrow n^2+2 \vdots 5$
$\Longleftrightarrow n^2$ chia $5$ dư $3$
Mà điều này không thể xảy ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 21-01-2013 - 22:13

[Oral1020]

c)Ta có:
$2^{4n}-1=16^n-1 \vdots 15$
d)Đặt $a=x-1$ và $b=y+1$
pttt:$(a+b)^2=ab$
$\Longleftrightarrow a^2+ab+b^2=0$
Mà do $a^2+ab+b^2=(a+\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3b^2}{4} \ge 0 $
........

[Oral1020]

3b)
DKXD $ x \ge \dfrac{1}{2}$
Vì phương trình đã đưa về dạng tích nên:
$\sqrt{2x-1}=0$
$\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$
Hoặc:
$x^4+3x^2-4=0$
Đặt $t=x^2$,pttt:
$t^2+3t-4=0$
$\Longleftrightarrow t=1$ hoặc $t=-4$ (loại)
Khi $t=1$
$\Longleftrightarrow x=1$ hoặc $x=-1$ (loại)
Vậy $S=\left \{ \dfrac{1}{2};1 \right \}$
-------
f)Đặt $a=x^2-x+1$ và $x+1=b$,pttt:
$3a^2-5ab-2b^2=0$
$\Longleftrightarrow (a-2b)(3a+b)=0$
$\Longleftrightarrow a=2b$ hoặc $3a-b$
Từ đây dễ dàng tìm được $x;y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 21-01-2013 - 22:31

[Oral1020]

Bài 5:
Gọi các cạnh tương ứng với chiều cao là $a,b,c$,ta có:
$h_aa=h_bb=h_cc=2S_{ABC}$
$\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\dfrac{h_a}{h_b}=\dfrac{b}{a}\\\dfrac{h_a}{h_c}=\dfrac{c}{a}

\end{matrix}\right.$
$\Longrightarrow \dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{c^2}{a^2}=1$
$\Longleftrightarrow a^2=b^2+c^2$(đpcm)