$\frac{n}{m}=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}$
#1
Đã gửi 03-12-2012 - 11:45
Đặt $\begin{cases}{n\over m}=\sum_{k=1}^{p-1}{1\over k}\\ \mathrm{gcd}(n,m)=1\end{cases}$
Chứng minh rằng: $p\big| n$
- donghaidhtt và nvhmath thích
#2
Đã gửi 03-12-2012 - 18:41
$=p(\frac{1}{1\cdot (p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{p+1}{2}})=\frac{p\cdot A}{(p-1)!}$
Do $gcd(p,(p-1)!)=1$ nên khi rút gọn tối giản $p(\frac{A}{(p-1)!})$ ta được $\frac{p\cdot B}{C}=\frac{n}{m}\Rightarrow p\cdot B=n\Rightarrow p|n$.
- hxthanh yêu thích
#3
Đã gửi 03-12-2012 - 19:17
Em giải thích xem tại sao lại cần điều kiện $p>3$ ?Ta có: $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}=(1+\frac{1}{p-1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2})+...+(\frac{1}{\frac{p-1}{2}}+\frac{1}{\frac{p+1}{2}})$
$=p(\frac{1}{1\cdot (p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{p+1}{2}})=\frac{p\cdot A}{(p-1)!}$
Do $gcd(p,(p-1)!)=1$ nên khi rút gọn tối giản $p(\frac{A}{(p-1)!})$ ta được $\frac{p\cdot B}{C}=\frac{n}{m}\Rightarrow p\cdot B=n\Rightarrow p|n$.
#4
Đã gửi 04-12-2012 - 11:54
#5
Đã gửi 06-12-2012 - 00:19
Bài này có nhiều cách giải lắm thầy ạCho $p>3$ là một số nguyên tố.
Đặt $\begin{cases}{n\over m}=\sum_{k=1}^{p-1}{1\over k}\\ \mathrm{gcd}(n,m)=1\end{cases}$
Chứng minh rằng: $p\big| n$
Theo em cách giải ngắn gọn nhất là sử dụng $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
Lời giải:
Ta xét bài toán trong $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, do tính tồn tại duy nhất của nghich đảo modulo, ta có:
$\overline{1}^{-1} + \overline{2}^{-1} +...+ \overline{p-1}^{-1} = \overline{1} + \overline{2} +...+ \overline{p-1} = \overline{1+2+...+ p-1} = \overline{\frac{p(p-1)}{2}} \equiv 0$
Q.E.D
- hxthanh yêu thích
$P_{G}(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n})=\frac{1}{|G|}\sum_{\tau\in G}ind(\tau)$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nguyenta98, chuỗi điều hoà
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Số nguyên tố cùng nhau với tích của 9 số còn lạiBắt đầu bởi chrome98, 03-04-2013 nguyenta98 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh ta có thể phân hoạch $\mathbb{N}^{*}$ thành 1 số tập hữu hạnBắt đầu bởi WhjteShadow, 10-03-2013 demonhentai000, nguyenta98 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Mở rộng IMO 1988Bắt đầu bởi reddevil1998, 19-02-2013 nguyenta98 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
CM a=b (IMO 2007 ,P5)Bắt đầu bởi reddevil1998, 30-01-2013 nguyenta98 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a^{2}+b^{2}+c^{2}< ab+3b+2c$Bắt đầu bởi diepviennhi, 21-11-2012 nguyenta98 |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh