Chủ đề này có 1 trả lời

[chanh1223]

Giải bất phương trình
$$\sqrt{5x+1}-\sqrt{13-3x}+x^{2}-x-8>0$$

[nthoangcute]

Giải bất phương trình
$$\sqrt{5x+1}-\sqrt{13-3x}+x^{2}-x-8>0$$

Hướng dẫn:
Ta sẽ làm bằng đạo hàm cho nhanh !
Xét hàm số $f(x)=\sqrt{5x+1}-\sqrt{13-3x}+x^{2}-x-8$
$f'(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}+\frac{3}{2\sqrt{13-3x}}+2x-1$
Đặt $t=\sqrt{5x+1} \geq $ ta được $x=\frac{t^2-1}{5}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}+2x-1>0$ hay tương đương với:
$5+(4x-2)\sqrt{5x+1}>0$ hay $4t^3-14t+25>0$
Tương đương với $4t(t-1)^2+8(t-\frac{9}{8})^2+\frac{119}{8}>0$
Xong
Do đó $f'(x)>0$ mọi $x$ thuộc tập xác định
Do đó $f(x)$ không có điểm uốn và nó cắt trục hoành tối đa một nghiệm.
Dễ thấy tại $x=3$ thì $f(x)=0$ nên $x=3$ là nghiệm duy nhất của $f(x)=0$
Do điều kiện $-\frac{1}{5} \leq x \leq \frac{13}{3}$ lên $f(x)$ liên tục trên $[-\frac{1}{5},\frac{13}{3} ]$
Do đó $f(x)_{max}=max \{f(-\frac{1}{5}),f(\frac{13}{3})\}=f(\frac{13}{3})$
Mà $f(x)$ liên tục lên $f(x)>0$ khi và chỉ khi $3<x<\frac{13}{3}$
(Có thể hình dung $f(x)$ như một đoạn thẳng mà nó cắt trục hoành tại điểm $(3,0)$. Điểm cao nhất của nó là tại $x=\frac{13}{3}$, do đó để $f(x)>0$ thì $x$ phải ở giữa 2 đoạn đó)