Chủ đề này có 1 trả lời

[NguyThang khtn]

Lâu lắm mới post bài ở trong box này nhớ cái hồi vẫn còn theo toán haizz!
Thân tặng các bạn một bài !
Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Chứng minh rằng:

$a^4+b^4+c^4+d^4 \ge \frac{8}{3} + \frac{8}{3}\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^3+b^3+c^3+d^3+4abcd}$

[nguyenthehoan]

biến đổi BDT tương đương với
$3(\sum a^{4})(\sum a^{3}+4abcd)\geq 16(\sum a^{3})+32abcd$
có$8(\sum a^{4})abcd\geq 32abcd$ nên ta phải cm
$(\sum a^{4})(3(\sum a^{3})+4abcd)\geq 16(\sum a^{3})$
+)nếu $3(\sum a^{3})+4abcd\geq 16$.Ta có
$\sum a^{4}\geq \sum a^{3}$ nên BDT hiển nhiên đúng.
+)Ngược lại
$\sum a^{4}+4abcd\geq \sum a^{2}b^{2}$ (bdt turkerviciu)
$\Rightarrow 3\sum a^{4}+4abcd\geq 16\Rightarrow \sum a^{4}\geq \frac{16-4abcd}{3}.$
thay vao ta phài cm
$(4-abcd)(3(\sum a^{3})+4abcd)\geq 12(\sum a^{3})$
$\Leftrightarrow 4abcd+3(\sum a^{3})\leq 16$ đúng theo giả thiết.
bài toán được cm hoàn toàn.