Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

$$\sqrt[3]{abc} \le M \le \frac{a+b+c}{3}$$

for all.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 04-12-2012 - 16:45

Bài toán: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 08-07-2018 - 17:52

Bài toán: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.

Ta có:

$$\sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}=\sqrt[6]{\frac{[\sum a^2b^2+2\alpha abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}$$

$\geqslant \sqrt[6]{\frac{\left ( 1+2\alpha  \right )abc\left ( \sum a \right )\left ( 1+2\beta  \right )\sum ab}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}=\sqrt[6]{\frac{abc\sum a\sum bc}{9}}\geqslant \sqrt[3]{abc}$

Mặt khác, ta có:

$[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)\leqslant \left [ 1+2\left ( \alpha -1 \right )\frac{\left ( \sum ab \right )^2}{3} \right ]\left [ \left ( \sum a \right )^2+2\left ( \beta -1 \right ) \right ]$

$\leqslant \frac{1}{9}\left ( 2\alpha +1 \right )\left ( 2\beta +1 \right )\left ( \sum a \right )^2\leq \frac{1}{81}\left ( 2\alpha +1 \right )\left ( 2\beta +1 \right )\left ( \sum a \right )^6$

$\Rightarrow \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 08-07-2018 - 17:59

Nothing in your eyes


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Đã gửi 29-07-2019 - 07:39

Ta có:

6[1+2(α1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)=6[a2b2+2αabc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)[1+2(α−1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)6=[∑a2b2+2αabc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)6

6(1+2α)abc(a)(1+2β)ab(3+6α)(3+6β)=6abcabc93abc⩾(1+2α)abc(∑a)(1+2β)∑ab(3+6α)(3+6β)6=abc∑a∑bc96⩾abc3

Mặt khác, ta có:

[1+2(α1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)[1+2(α1)(ab)23][(a)2+2(β1)][1+2(α−1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)⩽[1+2(α−1)(∑ab)23][(∑a)2+2(β−1)]

19(2α+1)(2β+1)(a)2181(2α+1)(2β+1)(a)6⩽19(2α+1)(2β+1)(∑a)2≤181(2α+1)(2β+1)(∑a)6

6[1+2(α1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)a+b+c3⇒[1+2(α−1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)6≤a+b+c3

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=13a=b=c=13.


 

 





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: for all.

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh