Chủ đề này có 3 trả lời

[yellow]

Cho $a, b, c >0$ và $abc = 1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yellow: 06-12-2012 - 21:24

[Oral1020]

Nếu dấu bằng xảy ra thì $a=b=c=1$ vậy thì phải $\ge \dfrac{3}{4}$ chứ nhỉ
Nếu vậy thì giải như sau(Chắc chắn là vậy rồi vì mình đã thử nhiều bộ a,b,c rồi)

Solution:

$\oplus$Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 3 số:
$\dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$
$\oplus$ Thiết lập các bất đẳng thức tương tự,ta có:
$VT \ge \dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{3}{4}$
$\oplus$ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 3 số,ta có:
$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}=3$
$\oplus$ Vậy $VT \ge \dfrac{3}{4}$
Dấu bằng xảy ra như mình nói ở trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 06-12-2012 - 21:05

[darkknight9x97]

Cho $a, b, c >0$ và $abc = 1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{4}{3}$$

bất đẳng thức đúng $$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$$
CM
Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng engel.Ta có
$$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$$
$\frac{a^{4}}{a(1+b)(1+c)}+\frac{b^{4}}{b(1+c)(1+a)}+\frac{c^{4}}{c(1+b)(1+a)}$$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c+2(ab+bc+ac)+3}$
Ta có:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac\geq3$
$a+b+c\geq 3$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=a+b+c$
Suy ra $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c+2(ab+bc+ac)+3} \geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{3}{4}$ (dpcm)
Dấu bẵng xảy ra kvck a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi darkknight9x97: 06-12-2012 - 21:20

[Sagittarius912]

Cho $a, b, c >0$ và $abc = 1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$$

cách thứ 3: Chebyshev
Sử dụng bdt Chebyshev cho 2 bộ số đơn điệu cùng chiều $(a^{3};b^{3};c^{3})$ và $(\frac{1}{(1+b)(1+c)});\frac{1}{(1+c)(1+a)};\frac{1}{(1+a)(1+b)}$ ta có

$VT\geq \frac{1}{3}\sum a^{3}\sum \frac{1}{(1+b)(1+c)}$

Tiếp tục áp dụng bdt C-S dạng Engel ta có

$\frac{1}{3}\sum a^{3}\sum \frac{1}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{\sum (1+b)(1+c)}$

Tiếp tục áp dụng 2 bdt

$(1+b)(1+c)+(1+c)(1+a)+(1+a)(1+b)\leq \frac{(3+a+b+c)^{2}}{3}$

và

$(3+a+b+c)^{2}\leq 2(9+(a+b+c)^{2})$

ta có

$\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{\sum (1+b)(1+c)}\geq \frac{9(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2(9+(a+b+c)^{2})}$

Sử dụng bdt Holder ta có

$(1+1+1)(1+1+1)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b+c)^{3}$

$\Rightarrow \frac{9(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2(9+(a+b+c)^{2})}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{2(9+(a+b+c)^{2})}$

Đặt (a+b+c)=x
khi đó ta cần chứng minh

$\frac{x^{3}}{2(9+x^{2})}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (x-3)(4x+3)^{2}\geq 0$

Mà điều này đúng do

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

Kết thúc chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 07-12-2012 - 20:50