Chủ đề này có 4 trả lời

[yellow]

Cho $a, b, c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(c+a)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)$$

[Oral1020]

$\oplus$Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 3 số
$\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{b+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$
$\oplus$Thiết lập các bất đẳng thức tương tự,ta có:
$VT \ge \dfrac{3(a+b+c)}{4}-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{4}=VP$
$\oplus$Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 06-12-2012 - 21:53

[Dung Dang Do]

Áp dụng BĐT Cau Chy ta có:
$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3a}{4}$
Tường tự

[hoanga1k36]

Cho $a, b, c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(c+a)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)$$

$9P=9.\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{3}\geqslant \left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )^{^{3}}\geqslant \left ( \frac{3}{2} \right )^{3} \Rightarrow P\geq \frac{1}{9}.\left ( \frac{3}{2} \right )^{3}$

[banhgaongonngon]

Cho $a, b, c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(c+a)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có
$(a+b+c)\left [ \frac{a^{3}}{(b+c)^{2}} +\frac{b^{3}}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{3}}{(a+b)^{2}}\right ] \geqslant (\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b})^{2}$ $\left ( 1 \right )$
Mặt khác $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{b+c+c+a+a+b} =\frac{a+b+c}{2}$ $\left ( 2 \right )$
Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ ta suy ra đpcm