Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(c+a)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 06-12-2012 - 21:26

Cho $a, b, c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(c+a)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)$$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 06-12-2012 - 21:51

$\oplus$Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 3 số
$\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{b+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$
$\oplus$Thiết lập các bất đẳng thức tương tự,ta có:
$VT \ge \dfrac{3(a+b+c)}{4}-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{4}=VP$
$\oplus$Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 06-12-2012 - 21:53

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#3 Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 THPT Kỳ Anh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Đại số đặc biệt là BĐT

Đã gửi 06-12-2012 - 21:56

Áp dụng BĐT Cau Chy ta có:
$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3a}{4}$
Tường tự
@@@@@@@@@@@@

#4 hoanga1k36

hoanga1k36

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 11-12-2012 - 16:41

Cho $a, b, c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(c+a)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)$$

$9P=9.\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{3}\geqslant \left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )^{^{3}}\geqslant \left ( \frac{3}{2} \right )^{3} \Rightarrow P\geq \frac{1}{9}.\left ( \frac{3}{2} \right )^{3}$

#5 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 11-12-2012 - 17:30

Cho $a, b, c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(c+a)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)$$


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có
$(a+b+c)\left [ \frac{a^{3}}{(b+c)^{2}} +\frac{b^{3}}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{3}}{(a+b)^{2}}\right ] \geqslant (\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b})^{2}$ $\left ( 1 \right )$
Mặt khác $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{b+c+c+a+a+b} =\frac{a+b+c}{2}$ $\left ( 2 \right )$
Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ ta suy ra đpcm




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh