Chủ đề này có 10 trả lời

[xuanha]

TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 2 ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG NĂM 2012-2013
TỔ TOÁN Thời gian:150 phút

Câu 1: (6 điểm)
1.Gpt: $(x^{3}+2x^{2}-1)=15(\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2})^{3}$
2. Gbpt: $24x^{2}-60x+36\geq \frac{1}{\sqrt{5x-7}}-\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

Câu 2: (3 điểm) tìm tất cả các giá trrị của m để hpt sau có nghiệm
$\left\{\begin{matrix} x+y-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1} & & \\ (x+y)^{2}-\sqrt{9-x-y}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}+m=0& & \end{matrix}\right.$


Câu 3(2,5 điểm) cho x,y,z >0 và xyz=1. tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{x+3}{(x+1)^{2}}+\frac{y+3}{(y+1)^{2}}+\frac{z+3}{(z+1)^{2}}$

Câu 4:(6 điểm)
1. cho tứ diệm ABCD có thể tích V và M là trọng tâm tam giác BCD. 3 đường thẳng qua M song song với AB, AC,AD cắt lần lượt các mp(ACD), (ABD), (ABC) tại B', C', D'. tính thể tích của khối MB'C'D' theo V.
2. cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. E là trung điểm của SC, mp(P) chứa AE cắt SB, SD tại M,N. Gọi V, V' lần lượt là thể tích của S.ABCD và S.AMEN. CM: $V'\leq \frac{3}{8}V$

Câu 5: (2,5 điểm)
Trong mp Oxy, cho đường tròn (C1) $x^{2}+(y-2)^{2}=25$ và (C2) $x^{2}+y^{2}=4$. đường thẳng (d) cắt (C1) tại A,B và tiếp xúc với (C2) tại M. tìm tọa độ M sao cho $MA^{2}+MB^{2}$ đạt max

........................Hết.......................

Nguyễn Xuân Hà

K46A1(2010-2013)_QL2

[lehoanghiep]

Câu 1: (6 điểm)
1.Gpt: $(x^{3}+2x^{2}-1)=15(\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2})^{3}$
2. Gbpt: $24x^{2}-60x+36\geq \frac{1}{\sqrt{5x-7}}-\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

1) Điều kiện $x\geq 2$.
Phương trình đã cho tương đương $\left ( x^{3}+2x^{2}-1 \right )\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{x-2} \right )^{3}=15$.
Đặt $f\left ( x \right )=x^{3}+2x^{2}-1$ và $g\left ( x \right )=\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{x-2} \right )^{3}$
Dễ thấy $\left\{\begin{matrix} f\left ( x \right )>0,f'\left ( x \right )>0 & \\ g\left ( x \right )>0,g'\left ( x \right )>0& \end{matrix}\right.$.
Xét $h\left ( x \right )=f\left ( x \right ).g\left ( x \right )\Rightarrow h'\left ( x \right )=f'\left ( x \right )g\left ( x \right )+f\left ( x \right )g'\left ( x \right )>0$.
Mặt khác $h\left ( 2 \right )=0$. Suy ra $x=2$ là nghiệm duy nhất.
2) Điều kiện $x>\frac{7}{5}$.
BPT$\Leftrightarrow \left ( 5x-6\right )^{2}-\frac{1}{\sqrt{5x-7}}\geq x^{2}-\frac{1}{\sqrt{x-1}}$.
Đến đây, xét hàm $f\left ( t \right )=t^{2}-\frac{1}{\sqrt{t-1}}\left ( t>\frac{7}{5} \right )$ ta được $5x-6\geq x\Leftrightarrow x\geq \frac{3}{2}$.

[lehoanghiep]

Câu 5: (2,5 điểm)
Trong mp Oxy, cho đường tròn (C1) $x^{2}+(y-2)^{2}=25$ và (C2) $x^{2}+y^{2}=4$. đường thẳng (d) cắt (C1) tại A,B và tiếp xúc với (C2) tại M. tìm tọa độ M sao cho $MA^{2}+MB^{2}$ đạt max

Gọi $I$, $O$ lần lượt là tâm đường tròn $\left ( C_{1} \right ),\left ( C_{2} \right )$. $D$ là trung điểm của $AB$.
Ta có $MA^{2}+MB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OM^{2}$$=\left ( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA} \right )^{2}+\left ( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB} \right )^{2}-2R_{2}^{2}=2OI^{2}+IA^{2}+IB^{2}-2R_{2}^{2}+2\overrightarrow{OI}\left ( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right )$$=2OI^{2}+2R_{1}^{2}-2R_{2}^{2}+4\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{ID}$.
Vậy ta cần xác định $D$ để $\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{ID}$ là lớn nhất.

Hướng này không biết có làm được gì không

[xuanha]

Gọi $I$, $O$ lần lượt là tâm đường tròn $\left ( C_{1} \right ),\left ( C_{2} \right )$. $D$ là trung điểm của $AB$.
Ta có $MA^{2}+MB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OM^{2}$$=\left ( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA} \right )^{2}+\left ( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB} \right )^{2}-2R_{2}^{2}=2OI^{2}+IA^{2}+IB^{2}-2R_{2}^{2}+2\overrightarrow{OI}\left ( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right )$$=2OI^{2}+2R_{1}^{2}-2R_{2}^{2}+4\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{ID}$.
Vậy ta cần xác định $D$ để $\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{ID}$ là lớn nhất.

Hướng này không biết có làm được gì không

bạn xác định xem sao. mình cũng theo hướng vectơ rùi nhưng chịu.k làm tiếp đc.cũng đến chỗ giống như bạn thế

[Mrnhan]

bạn xác định xem sao. mình cũng theo hướng vectơ rùi nhưng chịu.k làm tiếp đc.cũng đến chỗ giống như bạn thế

tôi cũng làm theo vecto , cái phương tích nhưng không ra. câu này khó nhất trong đề thi.
đáp án là OD=R/2.
mọi người thử dùng hình học phẳng thôi, dùng tọa độ rất rắc rối..!!

[lehoanghiep]

bạn xác định xem sao. mình cũng theo hướng vectơ rùi nhưng chịu.k làm tiếp đc.cũng đến chỗ giống như bạn thế

Đặt $\left ( \overrightarrow{OI};\overrightarrow{ID} \right )=\beta ;\left ( \overrightarrow{ID};\overrightarrow{IA} \right )=\alpha$.
Vì tam giác $IAB$ cân tại $I$ nên $\widehat{OID}=\alpha \Rightarrow \alpha +\beta =\pi$.
Ta có $\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{ID}=OI.ID.cos\beta =OI.IA.cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2}OI.IA\left ( cos\left ( \alpha +\beta \right )+cos\left ( \alpha -\beta \right ) \right )=\frac{1}{2}OI.IA\left ( cos\left ( \alpha -\beta \right )-1 \right )\leq 0$.
Đẳng thức xảy ra khi $\alpha =\beta$.
Khi đó $A$ là giao điểm của tia $OI$ với $\left ( C_{1} \right )$.

Đến đây nhẹ nhàng rồi

[xuanha]

câu 5: I(0;2) là tâm của (C1). kẻ IH vuông góc với d,IK vuông góc với OM. từ đó ta có IHMN là hình chữ nhật.
$P=MA^{2}+MB^{2}=(AH+HM)^{2}+(BH-HM)^{2}=2(AH^{2}+HM^{2})$
$=2(R_{1}-IH^{2})+2(R_{2}-ON^{2})$
đặt IH=x với x$\in [0;2]$thì ON=2-x. thay vào biểu thức trên rùi khảo sát để nó lớn nhất thì x=?.
có đc khoảng cách từ I, O đến (d), như vậy đã tìm đc pt (d) rồi => tìm đc M

[lehoanghiep]

câu 5: I(0;2) là tâm của (C1). kẻ IH vuông góc với d,IK vuông góc với OM. từ đó ta có IHMN là hình chữ nhật.
$P=MA^{2}+MB^{2}=(AH+HM)^{2}+(BH-HM)^{2}=2(AH^{2}+HM^{2})$
$=2(R_{1}-IH^{2})+2(R_{2}-ON^{2})$
đặt IH=x với x$\in [0;2]$thì ON=2-x. thay vào biểu thức trên rùi khảo sát để nó lớn nhất thì x=?.
có đc khoảng cách từ I, O đến (d), như vậy đã tìm đc pt (d) rồi => tìm đc M

$=2(R_{1}^{2}-IH^{2})+2(R_{2}^{2}-ON^{2})$.

[hoangtrong2305]

Câu 4:(6 điểm)
1. cho tứ diệm ABCD có thể tích V và M là trọng tâm tam giác BCD. 3 đường thẳng qua M song song với AB, AC,AD cắt lần lượt các mp(ACD), (ABD), (ABC) tại B', C', D'. tính thể tích của khối MB'C'D' theo V.

Gọi $E;F;G$ lần lượt trung điểm $BC,CD,BD$

Ta có: $MB'//BA\Rightarrow \frac{FB'}{FA}=\frac{FM}{FB}=\frac{1}{3}$

Chứng minh tương tự, ta suy ra $\frac{FB'}{FA}=\frac{ED'}{EA}=\frac{GC'}{GA}=\frac{1}{3}$

Áp dụng $Thales\Rightarrow D'B'//EF;B'C'//FG;C'D'//GE$

$\Rightarrow (BCD)//(B'C'D')$

Có $\frac{AD'}{AE}=\frac{D'C'}{EG}=\frac{2}{3}\Rightarrow EG=\frac{3}{2}D'C'$

Mà $EG=\frac{1}{2}DC$

$\Rightarrow \frac{CD}{C'D'}=3$

Chứng minh tương tự, ta suy ra $\frac{CD}{C'D'}=\frac{DB}{D'B'}=\frac{BC}{B'C'}=3$

$\Rightarrow \Delta BCD\sim \Delta B'C'D'$

$\Rightarrow S_{\Delta BCD}= 3S_{\Delta B'C'D'}$

Có $(BCD)//(B'C'D')$ nên $\frac{FB'}{FA}=\frac{d[B';(BCD)]}{d[A;(BCD)]}=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow d[B';(BCD)]=d[M;(B'C'D')]=\frac{1}{3}d[A';(BCD)]$

Vậy ta có:

$V_{MB'C'D'}=\frac{1}{3}.d[M;(B'C'D')].S_{\Delta B'C'D'}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.d[A';(BCD)].\frac{1}{3}.S_{\Delta BCD}$

$\Leftrightarrow V_{MB'C'D'}=\frac{1}{9}.\frac{1}{3}.d[A';(BCD)].S_{\Delta BCD}=\frac{1}{9}V$

[Mrnhan]

Gọi $E;F;G$ lần lượt trung điểm $BC,CD,BD$

Ta có: $MB'//BA\Rightarrow \frac{FB'}{FA}=\frac{FM}{FB}=\frac{1}{3}$

Chứng minh tương tự, ta suy ra $\frac{FB'}{FA}=\frac{ED'}{EA}=\frac{GC'}{GA}=\frac{1}{3}$

Áp dụng $Thales\Rightarrow D'B'//EF;B'C'//FG;C'D'//GE$

$\Rightarrow (BCD)//(B'C'D')$

Có $\frac{AD'}{AE}=\frac{D'C'}{EG}=\frac{2}{3}\Rightarrow EG=\frac{3}{2}D'C'$

Mà $EG=\frac{1}{2}DC$

$\Rightarrow \frac{CD}{C'D'}=3$

Chứng minh tương tự, ta suy ra $\frac{CD}{C'D'}=\frac{DB}{D'B'}=\frac{BC}{B'C'}=3$

$\Rightarrow \Delta BCD\sim \Delta B'C'D'$

$\Rightarrow S_{\Delta BCD}= 3S_{\Delta B'C'D'}$

Có $(BCD)//(B'C'D')$ nên $\frac{FB'}{FA}=\frac{d[B';(BCD)]}{d[A;(BCD)]}=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow d[B';(BCD)]=d[M;(B'C'D')]=\frac{1}{3}d[A';(BCD)]$

Vậy ta có:

$V_{MB'C'D'}=\frac{1}{3}.d[M;(B'C'D')].S_{\Delta B'C'D'}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.d[A';(BCD)].\frac{1}{3}.S_{\Delta BCD}$

$\Leftrightarrow V_{MB'C'D'}=\frac{1}{9}.\frac{1}{3}.d[A';(BCD)].S_{\Delta BCD}=\frac{1}{9}V$

hình như đáp án sai. bạn xem lại xem sao..

[xuanha]

$\Leftrightarrow V_{MB'C'D'}=\frac{1}{9}.\frac{1}{3}.d[A';(BCD)].S_{\Delta BCD}=\frac{1}{9}V$

do MB',MC',MD' song song với AB,AC,AD nên $\angle B'MC'=\angle BAC$ và t][ng tự với các góc còn lại
trên AB, AC, AD lấy E, F, P sao cho MB'=AE, MC'=CF, MD'=AP
khi đó: $V_{MB'C'D'}=V_{AEFP}=\frac{AE.AF.AP}{AB.AC.AD}.V_{ABCD}=\frac{1}{27}V$