Chủ đề này có 14 trả lời

[hxthanh]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 7/12/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 14 có 20 toán thủ nên không áp dụng luật bị loại

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

4) Từ trận 7, điều lệ đã có sự thay đổi

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.

[E. Galois]

Xác định $a, b$ để hàm số
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}(x+a)e^{-bx} \textbf{ khi } x< 0 & & \\ ax^{2}+bx+1 \textbf{ khi } x\geq 0 & & \end{matrix}\right.$$
có đạo hàm tại $x=0$


Toán thủ ra đề Primary

[minh29995]

Xác định $a, b$ để hàm số
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}(x+a)e^{-bx} \textbf{ khi } x< 0 & & \\ ax^{2}+bx+1 \textbf{ khi } x\geq 0 & & \end{matrix}\right.$$
có đạo hàm tại $x=0$

****Với b=0 thì hàm số trở thành:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} x+a \textbf{ khi} x<0 \\ ax^2+1 \textbf{khi} x\geq 0 \end{matrix}\right.$
Khi đó hàm số có đạo hàm khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn:
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}} \frac{x+a-a}{x}= \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{ax^2+1-1}{x} =A$ (*) (A là hằng số)
Nhưng
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}} \frac{x+a-a}{x}=1; lim_{x\rightarrow 0^{+}} ax=0$
Do đó không tồn tại đạo hàm tại x=0
TH này không thỏa mãn
*** Với $b\neq 0$ ta có:
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0}{x-x_0}= \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(x+a)e^{-bx}-a}{x}= \lim_{x\rightarrow0^{-}}(e^{-bx}+\frac{-ba(e^{-bx}-1)}{-bx})= 1-ab$ (tồn tại)
và
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(x_0}{x-x_0}= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{ax^2+bx}{x}=b$ (tồn tại)
Do đó để hàm số có đạo hàm tại x=0 thì:
$1-ab=b$
$\Leftrightarrow a=\frac{1-b}{b}$
Kết luận: các giá trị a,b thỏa mãn là:
$b\neq 0; a=\frac{1-b}{b}$
_________________________________
Hàm số có đạo hàm thì liên tục. Nên muốn hàm số có đạo hàm thì trước hết phải xét xem hàm có liên tục hay không đã!
Điểm bài làm: $d=4$
$S=\left\lfoor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 4+0+0=37$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 13-12-2012 - 19:32
Chấm điểm!

[chagtraife]

Xác định $a, b$ để hàm số
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}(x+a)e^{-bx} \textbf{ khi } x< 0 & & \\ ax^{2}+bx+1 \textbf{ khi } x\geq 0 & & \end{matrix}\right.$$
có đạo hàm tại $x=0$


Toán thủ ra đề Primary

Hàm số $F(x)$ có đạo hàm tại $x=0$ khi và chỉ khi
hàm số liên tục tại $x=0$ và $F'(0^{-})=F'(0^{+})$

*hàm số liên tục tại $x=0$
khi đó:$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}F(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}F(x)$
$\Leftrightarrow (0+a)e^{-b.0}=1 \Leftrightarrow a=1$

Ta thấy:
$F'(0^{-})$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(x+a)e^{-bx}-(0+a)e^{-b0}}{x-0}$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\frac{xe^{-bx}+e^{-bx}-1}{x}$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{-}}e^{-bx}+\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\frac{e^{-bx}-1}{x}$
$=e^{-b.0}-b.\lim _{k\rightarrow 0^{-}}\frac{e^{k}-1}{k}$ $ (k=-bx)$
$=1-b$
$F'(0^{+})$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}+bx}{x}$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}(x+b)$
$=b$
*suy ra:$F'(0^{-})=F'(0^{+})$
$\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}$
vậy $b=\frac{1}{2}$và $a=1$
________________________________

Điểm bài làm: $d=9$
$S=\left\lfoor\dfrac{52-3}{2}\right\rfloor+3\times 9+0+0=51$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 13-12-2012 - 19:33
Chấm điểm

[hoangkkk]

Nhận xét rằng hàm $f$ có đạo hàm tại $x=0$ khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1. $f(x)$ liên tục tại $x=0$
2. $f'(0^+)=f'(0^-)$
Trước hết ta tìm điều kiện của a và b để $f(x)$ liên tục tại $x=0$.
Xét:
$$\lim \limits_{x \to 0^-}f(x)=\lim \limits_{x \to 0^-}(x+a)e^{-bx}=(0+a)e^{-b.0}=a$$
$$\lim \limits_{x \to 0^+}f(x)=\lim \limits_{x \to 0^+}(ax^2+bx+1)=a.0^2+b.0+1=1=f(0)$$

Để $f(x)$ liên tục tại $x=0$ thì $\lim \limits_{x \to 0^-}f(x)=\lim \limits_{x \to 0^+}f(x)=f(0)
\Rightarrow a=1$
Tiếp theo ta tìm điều kiện của $a,b$ để $f(0^-)=f(0^+)$
Với $x< 0\Rightarrow f'(x)=[(x+a)e^{-bx}]'=e^{-bx}[1-b(x+a)]$
$\Rightarrow f'(0^-)=e^{-b.0}[1-b(0+a)]=1-ba$

Với $x\geq 0$ tương tự như trên ta thu được $f'(0^+)=b$
Như vậy để $f'(0^-)=f'(0^+)$ thì $1-ba=b$
Kết hợp hai điều kiên nêu trên ta có:
Hàm $f$ có đạo hàm tai $x=0$ khi và chỉ khi thỏa mãn :

$$\left\{\begin{matrix}
a=1 & \\
1-ba=b&
\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=1 & \\
b=\frac{1}{2} &
\end{matrix}\right.$$
___________________________
Điểm bài làm: $d=10$
$S=\left\lfoor\dfrac{52-17}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=47$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 13-12-2012 - 19:35
Chấm điểm!

[Gioi han]

GIẢI:
+) Hàm số f(x) có đạo hàm tai x=0 thì f(x) phải liên tục tại x=0.
$\Rightarrow \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)\Leftrightarrow a=1$
Ta có f(0)=1
+) Điều kiện cần và đủ để f(x) có đạo hàm tại x=0 $\Leftrightarrow f'(0^-)=f'(0^+) (*)$
mà
$f'(0^-)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{(x+1)e^{-bx}-1}{x}=\lim_{x\to0^-}(e^{-bx}-b.\frac{e^{-bx}-1}{-bx})=1-b (1)$
$f'(0^+)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{x^2+bx+1-1}{x}=b (2)$
Từ (*),(1) và (2) ta có $b=\frac{1}{2}$
vậy hàm f(x) có đạo hàm tại x=0 khi và chỉ khi a=1 và $b=\frac{1}{2}$

_________________________________________________________
Phát biểu thiếu chính xác! (lạm dụng "cần và đủ" và dấu tương đương)
Điểm bài làm: $d=8$
$S=\left\lfoor\dfrac{52-48}{2}\right\rfloor+3\times 8+0+0=26$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 13-12-2012 - 19:37
Chấm điểm!

[hoangtrong2305]

Xác định $a, b$ để hàm số
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}(x+a)e^{-bx} \textbf{ khi } x< 0 & & \\ ax^{2}+bx+1 \textbf{ khi } x\geq 0 & & \end{matrix}\right.$$
có đạo hàm tại $x=0$

Ta có hàm số xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số có đạo hàm tại $x=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2}+bx+1-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2}+bx}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(ax+b)=b\, \, (1)$

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(x+a)e^{-bx}-a}{x}$

Áp dụng quy tắc $L'Hospital$, ta có: $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(x+a)e^{-bx}-a}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\begin{bmatrix} e^{-bx}-b(x+a)e^{-bx} \end{bmatrix}=1-ab\, \, (2)$

Hàm số có đạo hàm tại $x=0\Leftrightarrow (1)=(2)\Leftrightarrow b=1-ab\Leftrightarrow b=\frac{1}{1+a}$
________________________________
Không xét tính liên tục (điều kiện cần). Dấu $\Leftrightarrow$ dùng trong lời giải là không đúng!
Điểm bài làm: $d=4$
Bài làm này đã diễn ra quá thời hạn quy định, nếu tính điểm theo công thức thì sẽ là
$S=\left\lfoor\dfrac{52-64}{2}\right\rfloor+3\times 4+0+0=6$ Do sơ xuất của BTC nên sẽ không tính điểm thời gian, tức là
$S=12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 13-12-2012 - 19:41
Chấm điểm!

[hxthanh]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[carljohnson1997]

Cái này em chưa học đến. Có bị loại không các bác>?<

[BoFaKe]

GIẢI:
+) Hàm số f(x) có đạo hàm tai x=0 thì f(x) phải liên tục tại x=0.
$\Rightarrow \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)\Leftrightarrow a=1$
Ta có f(0)=1
+) Điều kiện cần và đủ để f(x) có đạo hàm tại x=0 $\Leftrightarrow f'(0^-)=f'(0^+) (*)$
mà
$f'(0^-)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{(x+1)e^{-bx}-1}{x}=\lim_{x\to0^-}(e^{-bx}-b.\frac{e^{-bx}-1}{-bx})=1-b (1)$
$f'(0^+)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{x^2+bx+1-1}{x}=b (2)$
Từ (*),(1) và (2) ta có $b=\frac{1}{2}$
vậy hàm f(x) có đạo hàm tại x=0 khi và chỉ khi a=1 và $b=\frac{1}{2}$

Có phải kết quả này chỉ là 1 phần của kết quả tổng quát này

Ta có hàm số xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số có đạo hàm tại $x=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2}+bx+1-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2}+bx}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(ax+b)=b\, \, (1)$

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(x+a)e^{-bx}-a}{x}$

Áp dụng quy tắc $L'Hospital$, ta có: $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(x+a)e^{-bx}-a}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\begin{bmatrix} e^{-bx}-b(x+a)e^{-bx} \end{bmatrix}=1-ab\, \, (2)$

Hàm số có đạo hàm tại $x=0\Leftrightarrow (1)=(2)\Leftrightarrow b=1-ab\Leftrightarrow b=\frac{1}{1+a}$

[Mrnhan]

Có phải kết quả này chỉ là 1 phần của kết quả tổng quát này

kết quả thứ 2 hình như ko đúng. vì theo sgk. hàm số có đạo hàm tại $x=x_{0}$ thì liên tục tại $x=x_{0}$, và không suy ngược lại.

[hxthanh]

Tạm thời chấm điểm bài làm trước!

Nhận xét:
Đây là một bài sử dụng kiến thức cơ bản của đạo hàm, tuy nhiên có một số lời giải chưa đúng. Một số bạn hiểu sai hoặc lạm dụng mệnh đề tương đương $\Leftrightarrow$ trong lập luận.
Lấy một ví dụ đơn giản sau:

Hình vuông là hình chữ nhật: $\quad$ Hình vuông $\Rightarrow$ Hình chữ nhật
Hình vuông có 4 cạnh bằng nhau: $\quad$ Hình vuông $\Rightarrow$ hình có 4 cạnh bằng nhau.
Hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau là hình vuông: $\quad$ Hình chữ nhật $\wedge$ hình có 4 cạnh bằng nhau $\Rightarrow$ Hình vuông

$\quad$ Hình vuông $\Leftrightarrow$ hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau

Rõ ràng muốn xét xem hình đang xét có phải là "hình vuông" hay không thì trước tiên phải xem nó có phải là "hình chữ nhật" không đã, nếu hình đang xét mà không phải "hình chữ nhật" thì đỡ phải xác định xem nó có phải "hình vuông" không

[chagtraife]

cho e hỏi bài của em sao được 9 vậy?lập luận sai chỗ nào chăng?

[hxthanh]

cho e hỏi bài của em sao được 9 vậy?lập luận sai chỗ nào chăng?

Dù bài làm của em là đúng nhưng ...

Hàm số $F(x)$ có đạo hàm tại $x=0$ khi và chỉ khi
hàm số liên tục tại $x=0$ và $F'(0^{-})=F'(0^{+})$

*hàm số liên tục tại $x=0$
khi đó:$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}F(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}F(x)$
$\Leftrightarrow (0+a)e^{-b.0}=1 \Leftrightarrow a=1$

Ta thấy:
$F'(0^{-})$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(x+a)e^{-bx}-(0+a)e^{-b0}}{x-0}$
$=\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\frac{xe^{-bx}+e^{-bx}-1}{x}$

Kể từ chỗ này em đã thay $a=1$ vào
...

*suy ra:$F'(0^{-})=F'(0^{+})$
$\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}$

Nên chỗ này chỉ có thể là dấu suy ra chứ không phải dấu tương đương
vậy $b=\frac{1}{2}$và $a=1$

[E. Galois]

Điểm ra đề:
$$Đ = 4*1+3*18+0*2+30=88$$