Chủ đề này có 2 trả lời

[NLT]

Cho $3$ số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 \neq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:$$P = \frac{{\sqrt {a + b + c} }}{{\sqrt {2a + b + c} + \sqrt {a + 3b + c} + \sqrt {a + b + 4c} }}$$
____
Mr.M

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-12-2012 - 20:19

[WhjteShadow]

Cho $3$ số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 \neq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:$$P = \frac{{\sqrt {a + b + c} }}{{\sqrt {2a + b + c} + \sqrt {a + 3b + c} + \sqrt {a + b + 4c} }}$$
____
Mr.M

Đặt $\sqrt {2a + b + c}=x,\sqrt {a + 3b + c}=y,\sqrt {a + b + 4c}=z\,(x,y,z>0) $ Ta cần tìm GTLN của:
$$P=\frac{\sqrt{6x^2+3y^2+2z^2}}{\sqrt{17}(x+y+z)}$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\frac{x^2}{\frac{1}{6}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}+\frac{z^2}{\frac{1}{2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}$$
$$=(x+y+z)^2$$
Suy ra:
$$\sqrt{6x^2+3y^2+2z^2}\geq x+y+z\Rightarrow \frac{\sqrt{6x^2+3y^2+2z^2}}{\sqrt{17}(x+y+z)}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}$$
Vậy $MaxP=\frac{1}{\sqrt{17}}$. Dấu bằng xảy ra khi $6x=3y=2z$, rùi giải the0 $a,b,c$ là OK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-12-2012 - 20:20

[cool hunter]

Đặt $\sqrt {2a + b + c}=x,\sqrt {a + 3b + c}=y,\sqrt {a + b + 4c}=z\,(x,y,z>0) $ Ta cần tìm GTLN của:
$$P=\frac{\sqrt{6x^2+3y^2+2z^2}}{\sqrt{17}(x+y+z)}$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\frac{x^2}{\frac{1}{6}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}+\frac{z^2}{\frac{1}{2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}$$
$$=(x+y+z)^2$$
Suy ra:
$$\sqrt{6x^2+3y^2+2z^2}\geq x+y+z\Rightarrow \frac{\sqrt{6x^2+3y^2+2z^2}}{\sqrt{17}(x+y+z)}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}$$
Vậy $MaxP=\frac{1}{\sqrt{17}}$. Dấu bằng xảy ra khi $6x=3y=2z$, rùi giải the0 $a,b,c$ là OK

Cách giải này giường như đã dự đoán đc min khi tạo ra con $\sqrt{17}$. Dự đoán dấu = ở bài toán này ntn ạ.