Cho dãy số $a_n$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} a_1=1 \\ a_{n+1}=\frac{na_n}{2+n(a_n+1)} \end{matrix}\right.$
Tính $\lim_{m \to \infty} m \sum_{k=m+1}^{2m} a_{k}$
$\lim_{m \to \infty} m \sum_{k=m+1}^{2m} a_{k}$
Bắt đầu bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME, 07-12-2012 - 22:17
#1
Đã gửi 07-12-2012 - 22:17
PRONOOBCHICKENHANDSOME
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
- dark templar và hxthanh thích
#2
Đã gửi 28-12-2012 - 22:14
Noobmath
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
Dễ dàng chứng minh công thức tổng quát của $a_n$ bằng quy nạp : $a_n=\frac{1}{n^2} , \forall n \geq 1 $
Vậy : $\lim_{m \to \infty} m \sum_{k=m+1}^{2m}a_k=\lim_{m \to \infty} m \sum_{k=m+1}^{2m}\frac{1}{k^2}=\lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{(\frac{k}{m}+1)^2}=\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)^2} dx = \frac{1}{2}$
Vậy : $\lim_{m \to \infty} m \sum_{k=m+1}^{2m}a_k=\lim_{m \to \infty} m \sum_{k=m+1}^{2m}\frac{1}{k^2}=\lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{(\frac{k}{m}+1)^2}=\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)^2} dx = \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Noobmath: 28-12-2012 - 22:15
- dark templar, Ispectorgadget và PRONOOBCHICKENHANDSOME thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
