Chủ đề này có 1 trả lời

[tranghieu95]

A.
1. Cho $d_1; d_2; ... ; d_12$ là các số thực thuộc khoảng $(1;12)$.
CMR: Tồn tại 3 chỉ số phân biệt $i; j; k$ mà $d_1; d_j; d_k$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác nhọn.

2. Cho $*$ là 1 phép toán có tính giao hoán và kết hợp trên tập S. Giả sử với mọi $x, y \in S$ tồn tại $ z \in S$ thỏa mãn: $x * y = z$ ( z có thể phụ thuộc và x và y).
CMR: Nếu $a, b, c \in S$ và $a*c=b*c$ thì $a=b$.

3. Cho hàm số: $f: [-1; 1] \rightarrow \mathbb{R} $ liên tục và thỏa mãn đồng thời:
(i) $(x)=\dfrac{2-x^2}{2} f \left( \dfrac{x^2}{2-x^2} \right)$
(ii) $f(0)=1$
(iii) $\lim \limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x)}}{{\sqrt {1 - x} }}$ tồn tại và hữu hạn.
CMR: $f$ duy nhất và chỉ ra hình thức đóng của nó.

4.Cho $q$ và $r$ là các số nguyên, $q > 0$. Cho $A$ và $B$ là 2 khoảng trên trục số. Gọi $T$ là tập tất cả $b+mq$ với $b, m \in \mathbb{Z}$, gọi $S$ là tập tất cả các số nguyên $a \in T$ sao sao cho $ra \in S$
CMR: nếu tích độ dài $A$ và $B$ nhỏ hơn $q$ thì $S$ là giao của $A$ với 1 cấp số cộng.

5. Gọi $F_p$ là trường các số nguyên đồng dư modulo $p$ ($p$ là SNT), $n$ là 1 số nguyên dương. Gọi $v$ là 1 vecto định vị trong $F^n_p$, $M$ là 1 ma trận $nxn$ trong $F_p$. $G$ được xác định: $F^n_p \rightarrow F^n_p, G(x)=v+Mx$. $G^{(k)}$ được định nghĩa là: $G^{(1)}(x)=G(x); G^{(k+1)}(x)=G(G^{(k)}(x))$.
Tìm tất cả các cặp $(p; n)$ sao cho tồn tại $v; M$ sao cho $p^n$ vecto $G^{(k)}(0); k=1,2,...,p^n$ phân biệt.

6. Cho $f(x; y)$ là hàm tuần hoàn, nhận giá trị thực trên $\mathbb{R} ^2$. Giả sử, với mọi hình chữ nhật R có diện tích 1, tích phân 2 lớp của $f(x; y)$ trên R 1 lượng bằng 0.
Hỏi $f(x; y)$ có đồng nhất với 0 ko?

B.

1. Gọi $S$ là họ các hàm: $[0; +\infty) \rightarrow [0; +\infty)$ thoả mãn:
(i) $f_1(x)=e^x-1; f_2(x)=ln(x+1) \in S$
(ii) Nếu $f(x); g(x) \in S$ thì $f(x)+g(x)$ và $f(g(x))$ thuộc S.
(iii) Nếu $f(x); g(x) \in S$ và $f(x) \ge g(x), \forall x \ge 0$ thì $f(x)-g(x) \in S$
CMR: Nếu $f(x); g(x) \in S$ thì $f(x)g(x) \in S$

2. Cho P là 1 khối đa diện ( ko suy biến).
CMR: có 1 hằng số $c(P)>0$ tm: Nếu chọn n quả bóng mà tổng thể tích V chưa toàn bộ bề mặt của P thì $n>\dfrac{c(P)}{V}$.

3. 1 giải đấu vòng tròn gồm $2n$ đội diễn ra trong $2n-1$ ngày. Mỗi ngày mỗi đội sẽ chơi 1 trò chơi với 1 đội khác, sẽ có 1 người thắng và 1 người thua trong mỗi trò chơi trong $n$ trò chơi. Mỗi đội chỉ chơi với 1 đội khác đúng 1 lần.
Hỏi có thể nhất thiết phải chọn một đội chiến thắng từ từng ngày mà không lựa chọn bất cứ đội bóng nào nhiều hơn một lần?

4. Giả sử: $a_0=1; a_{n+1}=a_n+e^{-a_n}$ .
Hỏi $a_n -log n$ có giới hạn hữu hạn khi $n \rightarrow + \infty$ hay ko?

5. CMR: với 2 hàm bị chặn $g_1(x); g_2(x): \mathbb{R} \to [1; \infty)$ tồn tại $h_1(x); h_2(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
\[ \sup_{s\in\mathbb{R}}\left(g_1(s)^xg_2(s)\right)=\max_{t\in\mathbb{R}}\left(xh_1(t)+h_2(t)\right). \]

6. Cho $p$ là 1 SNT lẻ thỏa mãn: $ p \vdots 2(mod 3)$. $\pi$ được xác định là 1 hoán vị của bộ số dư: $\pi(x) \vdots x^3 (mod p)$.
CMR: $\pi$ là 1 hoán vị chẵn khi và chỉ khi $p \vdots 3 ( mod 4)$

[cesc1996]

Này bạn đăng lộn trang rồi đây là kì thi olympic sinh viên của các trường đại học của Mỹ đề nghị bạn chuyển sang kho sinh viên tên đúng của putnam là The William Lowell Putnam Mathematical Competition