Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 08-12-2012 - 07:18

Giải phương trình $729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$

#2 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 08-12-2012 - 10:23

Giải phương trình $729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$


Đặt $ 27x^2 = a, \quad 6\sqrt{1 - x^2} = b, \ a,b \geq 0$

Thay vào phương trình ban đầu ta được $a^2 + \dfrac{8}{6}b = 36 \Leftrightarrow 3a^2 + 4b = 108 \ (1)$

Từ cách đặt ta lại có $ \dfrac{a}{27} = 1 - \dfrac{b^2}{36} \Leftrightarrow 3b^2 + 4a = 108 \ (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ đối xứng loại II

Nghiệm xấu quá $\left [ \begin{matrix} x = -\dfrac{1}{9}\sqrt{2(\sqrt{82} - 1)} \\ x = \dfrac{1}{9}\sqrt{2(\sqrt{82} - 1)} \end{matrix} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienvuviet: 08-12-2012 - 10:24


#3 wildlandart

wildlandart

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 09-07-2014 - 22:58

Bạn có thể giải thích giùm mình bạn làm thế nào được ra hệ đẳng cấp như vậy không?



#4 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 23-08-2016 - 22:26

Giải phương trình $729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$

 

 

Bạn có thể giải thích giùm mình bạn làm thế nào được ra hệ đẳng cấp như vậy không?

 
Đặt $a=x^2$ (cách đặt tự nhiên), ta có phương trình
$$729a^{2}+8\sqrt{1-a}=36.$$
 
Đặt $b=\sqrt{1-a}$ (cũng là một cách đặt tự nhiên), ta có hệ phương trình
\[\begin{cases} & 729a^{2}+8b=36, \\ &b^2+a=1. \end{cases}\]
Ta sẽ chọn $a$ làm "trụ" (không biến đổi) và hỏi rằng: liệu hệ nàỳ có thể xem là hệ đối xứng của $a$ và $f(b)$ nào đó  hay không?
So sánh bậc, ta thấy $f(b)$ là hàm bậc nhất theo $b$. Điều tốt hơn cả là $f(b)= \alpha b.$
 
Ngoài việc thay thay $b= \frac{c}{\alpha}$, tiến hành đồng nhất để chọn $\alpha$, ta có thể biến đổi để đưa ra những "phần không đổi". Ngoài cách chọn "$a$" làm trụ, ta thực hiện biến đổi để vế phải hai phương trình giống nhau. Hệ trên tương đương 
\[\begin{cases} & \left(\frac{9}{2}\right)^2a^{2}+\frac{2}{9}b=1, \\ &b^2+a=1. \end{cases}\]
Để bảm bảo hệ đối xứng thì cần có sự tương ứng $\left(\frac{9}{2}\right)^2a^{2}\leftrightarrow b^2=  \left(\frac{9}{2}\right)^2c^{2}$ và $c=\frac{2}{9}b \leftrightarrow a$. Do đó đặt $c=\frac{2}{9}b$, ta có hệ đối xứng sau
\[\begin{cases} & \left(\frac{9}{2}\right)^2a^{2}+c=1, \\ &\left(\frac{9}{2}\right)^2c^{2}+a=1. \end{cases}\]
 
------------------------------------------------------------------
Ngoài cách giải thích trên ta có thể lý giải qua cách giải đưa một lớp đặc biệt của  PT $\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ về hệ phương trình đối xứng.
(Bỏ qua trường hợp tầm thường ($c=0$))
 
Đặt $Ay+B= \sqrt{ax+b},$ ta có hệ 
\[\begin{cases} & (Ay+B)^2=ax+b, \\ & cx^2+dx+e=Ay+B. \end{cases}\]
 
\[\iff \begin{cases} & (Ay+B)^2=ax+b, \\ & \left(Ax+\frac{Ad}{2c}\right)^2=\frac{A^3}{c}y+\frac{4cA^2(B-e)+A^2d^2}{4c^2}. \end{cases}\]
Nếu hệ sau tồn tại $A, B$ thì ta có thể đưa về hệ đối xứng
\[\begin{cases} & B=\frac{Ad}{2c}, \\ & a=\frac{A^3}{c},\\& b=\frac{[4c(B-e)+A^2d^2]A^2}{4c^2}. \end{cases}\]
\[\begin{cases} & B=\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}, \\ & A = \sqrt[3]{ac},\\& b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}. \end{cases}\]
 
Do đó, nếu $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$ thì ta có thể đưa hệ về hệ đối xứng thông qua phép đặt ẩn phụ $\sqrt[3]{ac}y+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}= \sqrt{ax+b}.$ Khi đó hệ trở thành
 
\[\begin{cases} & \left(\sqrt[3]{ac} y+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}\right)^2=ax+b, \\ & \left(\sqrt[3]{ac} x+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}\right)^2=ay+b. \end{cases}\]
 
Phương trình $$729u^{2}+8\sqrt{1-u}=36.$$
$$\iff \sqrt{1-u}=-\frac{81}{4}a^{2}+\frac{9}{2}.$$
Nghĩa là $a=-1, b=1, c= -\frac{729}{8}, d=0, e= \frac{9}{2}.$
Điều kiện: $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$  được thỏa mãn. Ta chọn được $A=\frac{9}{2}, B=0.$
Do đó cách đặt ẩn phụ $\frac{9}{2}y=\sqrt{1-u}$ sẽ đưa phương trình về hệ đối xứng.
 
 
Thí dụ PT thuộc lớp này là : $2x^2-6x-1 =\sqrt{4x+5}.$
Điều kiện: $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$  được thỏa mãn. Ta chọn được $A=2, B=-3.$
Do đó cách đặt ẩn phụ $2y-3=\sqrt{4x+5}$ sẽ đưa phương trình về hệ đối xứng.
 
-----------------------------------------------------
 
Xem xét và đối chiếu lớp PT trên với lớp PT sau:
\[\sqrt{ax+b}= r(ux+v)+dx+e,\]
trong đó $u=ar+d, v=br+e,$ đặt $\sqrt{ax+b}=u y+v$ sẽ đưa ra hệ đối xứng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 23-08-2016 - 23:15

Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh