Đến nội dung

Hình ảnh

$729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
Giải phương trình $729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$

#2
tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Giải phương trình $729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$


Đặt $ 27x^2 = a, \quad 6\sqrt{1 - x^2} = b, \ a,b \geq 0$

Thay vào phương trình ban đầu ta được $a^2 + \dfrac{8}{6}b = 36 \Leftrightarrow 3a^2 + 4b = 108 \ (1)$

Từ cách đặt ta lại có $ \dfrac{a}{27} = 1 - \dfrac{b^2}{36} \Leftrightarrow 3b^2 + 4a = 108 \ (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ đối xứng loại II

Nghiệm xấu quá $\left [ \begin{matrix} x = -\dfrac{1}{9}\sqrt{2(\sqrt{82} - 1)} \\ x = \dfrac{1}{9}\sqrt{2(\sqrt{82} - 1)} \end{matrix} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienvuviet: 08-12-2012 - 10:24


#3
wildlandart

wildlandart

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Bạn có thể giải thích giùm mình bạn làm thế nào được ra hệ đẳng cấp như vậy không?



#4
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Giải phương trình $729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$

 

 

Bạn có thể giải thích giùm mình bạn làm thế nào được ra hệ đẳng cấp như vậy không?

 
Đặt $a=x^2$ (cách đặt tự nhiên), ta có phương trình
$$729a^{2}+8\sqrt{1-a}=36.$$
 
Đặt $b=\sqrt{1-a}$ (cũng là một cách đặt tự nhiên), ta có hệ phương trình
\[\begin{cases} & 729a^{2}+8b=36, \\ &b^2+a=1. \end{cases}\]
Ta sẽ chọn $a$ làm "trụ" (không biến đổi) và hỏi rằng: liệu hệ nàỳ có thể xem là hệ đối xứng của $a$ và $f(b)$ nào đó  hay không?
So sánh bậc, ta thấy $f(b)$ là hàm bậc nhất theo $b$. Điều tốt hơn cả là $f(b)= \alpha b.$
 
Ngoài việc thay thay $b= \frac{c}{\alpha}$, tiến hành đồng nhất để chọn $\alpha$, ta có thể biến đổi để đưa ra những "phần không đổi". Ngoài cách chọn "$a$" làm trụ, ta thực hiện biến đổi để vế phải hai phương trình giống nhau. Hệ trên tương đương 
\[\begin{cases} & \left(\frac{9}{2}\right)^2a^{2}+\frac{2}{9}b=1, \\ &b^2+a=1. \end{cases}\]
Để bảm bảo hệ đối xứng thì cần có sự tương ứng $\left(\frac{9}{2}\right)^2a^{2}\leftrightarrow b^2=  \left(\frac{9}{2}\right)^2c^{2}$ và $c=\frac{2}{9}b \leftrightarrow a$. Do đó đặt $c=\frac{2}{9}b$, ta có hệ đối xứng sau
\[\begin{cases} & \left(\frac{9}{2}\right)^2a^{2}+c=1, \\ &\left(\frac{9}{2}\right)^2c^{2}+a=1. \end{cases}\]
 
------------------------------------------------------------------
Ngoài cách giải thích trên ta có thể lý giải qua cách giải đưa một lớp đặc biệt của  PT $\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ về hệ phương trình đối xứng.
(Bỏ qua trường hợp tầm thường ($c=0$))
 
Đặt $Ay+B= \sqrt{ax+b},$ ta có hệ 
\[\begin{cases} & (Ay+B)^2=ax+b, \\ & cx^2+dx+e=Ay+B. \end{cases}\]
 
\[\iff \begin{cases} & (Ay+B)^2=ax+b, \\ & \left(Ax+\frac{Ad}{2c}\right)^2=\frac{A^3}{c}y+\frac{4cA^2(B-e)+A^2d^2}{4c^2}. \end{cases}\]
Nếu hệ sau tồn tại $A, B$ thì ta có thể đưa về hệ đối xứng
\[\begin{cases} & B=\frac{Ad}{2c}, \\ & a=\frac{A^3}{c},\\& b=\frac{[4c(B-e)+A^2d^2]A^2}{4c^2}. \end{cases}\]
\[\begin{cases} & B=\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}, \\ & A = \sqrt[3]{ac},\\& b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}. \end{cases}\]
 
Do đó, nếu $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$ thì ta có thể đưa hệ về hệ đối xứng thông qua phép đặt ẩn phụ $\sqrt[3]{ac}y+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}= \sqrt{ax+b}.$ Khi đó hệ trở thành
 
\[\begin{cases} & \left(\sqrt[3]{ac} y+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}\right)^2=ax+b, \\ & \left(\sqrt[3]{ac} x+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}\right)^2=ay+b. \end{cases}\]
 
Phương trình $$729u^{2}+8\sqrt{1-u}=36.$$
$$\iff \sqrt{1-u}=-\frac{81}{4}a^{2}+\frac{9}{2}.$$
Nghĩa là $a=-1, b=1, c= -\frac{729}{8}, d=0, e= \frac{9}{2}.$
Điều kiện: $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$  được thỏa mãn. Ta chọn được $A=\frac{9}{2}, B=0.$
Do đó cách đặt ẩn phụ $\frac{9}{2}y=\sqrt{1-u}$ sẽ đưa phương trình về hệ đối xứng.
 
 
Thí dụ PT thuộc lớp này là : $2x^2-6x-1 =\sqrt{4x+5}.$
Điều kiện: $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$  được thỏa mãn. Ta chọn được $A=2, B=-3.$
Do đó cách đặt ẩn phụ $2y-3=\sqrt{4x+5}$ sẽ đưa phương trình về hệ đối xứng.
 
-----------------------------------------------------
 
Xem xét và đối chiếu lớp PT trên với lớp PT sau:
\[\sqrt{ax+b}= r(ux+v)+dx+e,\]
trong đó $u=ar+d, v=br+e,$ đặt $\sqrt{ax+b}=u y+v$ sẽ đưa ra hệ đối xứng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 23-08-2016 - 23:15

Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh