Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Giả sử $a_1,a_2,...a_p$ là những số dương cố định. Xét dãy sau $S_n=\frac{a_1^n+a_2^n+...+a_p^n}{p}$ và $x_n=\sqrt[n]{S_n},\,\,\, n\in \mathbb{N}$
Chứng minh rằng $(x_n)$ là dãy đơn điệu.

[robin997]

Giả sử $a_1,a_2,...a_p$ là những số dương cố định. Xét dãy sau $S_n=\frac{a_1^n+a_2^n+...+a_p^n}{p}$ và $x_n=\sqrt[n]{S_n},\,\,\, n\in \mathbb{N}$
Chứng minh rằng $(x_n)$ là dãy đơn điệu.

Cái này là một trường hợp đặc biệt về tính chất của trung bình trọng lượng (với trọng lượng đơn vị)

Spoiler

Cuối tuần :')

-Với $n_1>n_2>0$, ta lấy $n_2=\alpha . n_1$ ($0<\alpha <1$)
Theo BĐT Holder, có:
$\sum_{i=1}^{p}{a_i^{n_2}}=\sum_{i=1}^{p}{a_i^{\alpha n_1}}=\sum_{i=1}^{p}(a_i^{n_1})^\alpha .1^{1-\alpha }\leq (\sum_{i=1}^{p}{a_i^{n_1}})^\alpha .p^{1-\alpha }\\\Leftrightarrow \frac{\sum_{i=1}^{p}{a_i^{n_2}}}{p}\leq \left( \frac{\sum_{i=1}^{p}{a_i^{n_1}}}{p}\right)^\alpha \\\Leftrightarrow \left(\frac{\sum_{i=1}^{p}{a_i^{n_2}}}{p} \right)^{\frac{1}{n_2}}=\left(\frac{\sum_{i=1}^{p}{a_i^{n_2}}}{p} \right)^{\frac{1}{\alpha n_1}}\leq \left( \frac{\sum_{i=1}^{p}{a_i^{n_1}}}{p}\right)^{\frac{1}{n_1}}\\\Leftrightarrow x_{n_2}\leq x_{n_1}$
(Dấu bằng xảy ra khi {$a_n$}$_1^p$ là dãy hằng)
Do đó:
+ {$a_n$}$_1^p$ là dãy hằng: Dãy $x$ hằng.
+ {$a_n$}$_1^p$ khác hằng: Dãy $x$ tăng.
( $x_0$ không xác định? )