Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm một số tự nhiên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 10-12-2012 - 11:39

Tìm một số tự nhiên có tính chất: Nếu viết liên tiếp bình phương và lập phương của nó, sau đó đảo ngược số nhận được thì ta được số là luỹ thừa bậc sáu của số ban đầu.

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 16-12-2012 - 00:12

Tìm một số tự nhiên có tính chất: Nếu viết liên tiếp bình phương và lập phương của nó, sau đó đảo ngược số nhận được thì ta được số là luỹ thừa bậc sáu của số ban đầu.

Giải như sau:
Gọi số đó là $X$, nếu $X$ có một cs thì $X=1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dễ thấy $X=3$ thỏa mãn
Với $X\geq 10$ giả sử $X^2=\overline{a_1a_2a_3...a_k}$ và $X^3=\overline{b_1b_2...b_t}$ do đó $t\geq k+1$ vì $\overline{a_1a_2a_3...a_k}.11\le \overline{a_1a_2a_3...a_k}.X=\overline{b_1b_2...b_t}$
Khi ấy số viết liền là $\overline{a_1a_2a_3...a_kb_1b_2...b_t}$
Do đó $X^6=\overline{b_tb_{t-1}...b_1a_k...a_1}$
Ta có $X^3=\overline{b_1b_2...b_t}$
Do đó $\overline{b_1b_2...b_t}^2=\overline{b_tb_{t-1}...b_1a_k...a_1}=\overline{b_tb_{t-1}...b_1}.10^k+\overline{a_1a_2a_3...a_k}$
$\Rightarrow (10.\overline{b_1b_2...b_t})^2=\overline{b_tb_{t-1}...b_1}.10^{k+2}+\overline{a_1a_2a_3...a_k}.10^2$
Ta thấy $10.\overline{b_1b_2...b_t}>\overline{b_tb_{t-1}...b_1}$ (do số kia có $t+1$ cs trong khi $\overline{b_tb_{t-1}...b_1}$ có $t$ chữ số) nên $(10.\overline{b_1b_2...b_t})^2-\overline{b_tb_{t-1}...b_1}.10^{k+2}>(10.\overline{b_1b_2...b_t})^2-(10.\overline{b_1b_2...b_t}).10^{k+2}=(10.\overline{b_1b_2...b_t})(10.\overline{b_1b_2...b_t}-10^{k+2})$
Lại có do $t\geq k+1$ nên $10.\overline{b_1b_2...b_t}-10^{k+2}>0$
Suy ra $(10.\overline{b_1b_2...b_t})(10.\overline{b_1b_2...b_t}-10^{k+2})\geq (10.\overline{b_1b_2...b_t})$
Lại có $\overline{b_1b_2...b_t}\geq 10.\overline{a_1a_2a_3...a_k}$ (do $X\geq 10$)
Từ các điều trên thu ngay được $\overline{b_1b_2...b_t}^2\geq \overline{b_tb_{t-1}...b_1}.10^k+\overline{a_1a_2a_3...a_k}$
Dấu $=$ khi $10.\overline{b_1b_2...b_t}-10^{k+2}=1$ vô lí vì $10.\overline{b_1b_2...b_t}-10^{k+2} \vdots 10$ nên dấu $=$ không xảy ra do đó $X\geq 10$ bị loại
Vậy nghiệm duy nhất $\boxed{X=3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-12-2012 - 09:32


#3 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 16-12-2012 - 09:31

Nhưng $9^{6} = 531441$ em ạ ! Chị nghĩ em làm không đúng rồi ! :(

Chị đừng nói như vậy, nói vậy khác nào vùi dập cả bài của em, đúng là em có nhầm nhưng chỉ là ghi nhầm đáp số thôi, đáp số là $3$ mà em ghi nhầm là $9$, em đã sửa lại.
_____________________________________________
Ý chị không phải vậy, mà chị chỉ nói đáp số của em có vấn đề thôi, chứ cách làm của em thì thực sự là rất tốt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 16-12-2012 - 09:36





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh