Chủ đề này có 2 trả lời

[yellow]

Một hàm $f:N\rightarrow N$ cho mỗi số tự nhiên $n$ một giá trị $f(n)$ cũng là số tự nhiên, theo công thức $f(f(n))=f(n)+n$
a) Hãy tìm hai hàm số như vậy
b) Chứng minh rằng không có các hàm số khác thoả mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yellow: 10-12-2012 - 11:48

[viet 1846]

Một hàm $f:N\rightarrow N$ cho mỗi số tự nhiên $n$ một giá trị $f(n)$ cũng là số tự nhiên, theo công thức $f(f(n))=f(n)+n$
a) Hãy tìm hai hàm số như vậy
b) Chứng minh rằng không có các hàm số khác thoả mãn

Xét dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = n\\
{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)
\end{array} \right.$


\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = n\\
{u_2} = f\left( n \right)\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n - 1}}
\end{array} \right.\]

Phương trình đạc trưng:


\[{\lambda ^2} = \lambda + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\lambda = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\lambda = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\]

Khi đó ta có: \[{u_n} = {c_1}{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} + {c_2}{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n}\]

Cho $n=1;2$ ta có:


\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = n = {c_1}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) + {c_2}\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
{u_2} = f\left( n \right) = {u_n} = {c_1}{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} + {c_2}{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2}
\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình dãy ta được dãy số cần tìm.

[perfectstrong]

Xét dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = n\\
{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)
\end{array} \right.$

Lời giải này không ổn. Nếu như vậy với mỗi giá trị $f(u_1)$ sẽ có 1 hàm khác à? Bài này là $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, khác với $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$