Chủ đề này có 3 trả lời

[tranghieu95]

Bảng A:

1. Cho hình vuông đơn vị $ABCD$. Vẽ cung tròn tâm $A$, đi qua $B, D$ mà $B, D$ là 2 điểm mút, tương tự vẽ cung tròn tâm $B$ đi qua $A, C$ với $A, C$ là 2 điểm mút. Dựng đường tròn $©$ tiếp xúc ngoài với cung AC, BD.
Tính bán kính của $©$.

2. Cho $a; b; c \in \mathbb{N*}$ thỏa mãn: $b^5 \vdots a; c^5 \vdots b; a^5 \vdots c$.
CMR: $ (a+b+c)^{31} \vdots abc$

3. Cho $a, b \in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn: $a+b=1$
CMR: $a^ab^b+a^bb^a \le 1$

4. Cho $X={1; 2; ...; 10}$.
TÌm số cặp $(A, B)$ thỏa mãn: $A \subseteq X; B \subseteq X , A \ne B$ và $ A \cap B = {5; 7; 8}$

5. Cho tam giác $ABC. D, E$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BD= DE= EC$. $F$ là trung điểm $AC$. Gọi $P, Q$ lần lượt là giao điểm các cặp đường thẳng $BF, AD$ và $BF, AE$.
Tính: $\dfrac{S_{APQ}}{S_{PDEQ}}$

6. Tìm $n \in \mathbb{N*}$ thỏa mãn: $3^{2n}+ 3n^2+ 7$ là số chính phương

BẢNG B:

1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn: $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}>90^{\circ}$. Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và đường thẳng qua $B$ song song với $AD$. $F$ là giao điểm của đường thẳng qua $A$ song song $BC$ và$BD$.
CMR: $EF \parallel CD$

2. Cho $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ là 1 đa thức với $deg P \ge 3$.
Biết $a_{n-1}=-C^1_n; a_{n-1}=C^2_n$ và $P(x)$ có các nghiệm đều là nghiệm thực.
TÌm các hệ số còn lại của đa thức.

3. Tìm $x, y, z \in \mathbb{N}$ thỏa mãn:
$$(2^x-1)(2^y-1)=2^{2^z}+1$$

4. Cho $a, b, c \ge 0$ thỏa mãn: $abc(a+b+c)=3$
CMR: $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8$
Dấu bằng xảy ra khi nào?

5. Cho $AL, BK$ là 2 đường phân giác trong của tam giác không cân $ABC ( L \in BC, K \in CA)$. $M \in AL$ thỏa mãn: $\widehat{AMK}=90^{\circ}$. $N \in BK$ thỏa mãn: $LN \parallel MK$.
CMR: $LN=NA$

6. 1 chương trình máy tính lấy ngẫu nhiên $175$ số nguyên dương, trong đó không có số nào có ước nguyên tố lớn hơn 10.
CMR: có 3 số trong số chúng có tích là lập phương đúng của 1 số tự nhiên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranghieu95: 10-12-2012 - 23:49

[Ispectorgadget]

3. Cho $a, b \in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn: $a+b=1$
CMR: $a^ab^b+a^bb^a \le 1$

Áp dụng BĐT AM-GM suy rộng ta có $a^ab^b+a^bb^a \le a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

[thienhg]

Câu 4: dùng p,q,r : từ giả thiết dễ dàng suy ra r=< 1 và p>=3 . mặt khác: q^2 >= 3pr=9 suy ra q>=3. Từ đó ta có pq-r >= 8 ( đây chính là bđt cần cm)

[Sagittarius912]

4. Cho $a, b, c \ge 0$ thỏa mãn: $abc(a+b+c)=3$
CMR: $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8$
Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bổ đề:
.Với $a,b,c>0$ thì
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$ (*)
Chứng minh:
khai triển và rút gọn
(*)$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc$
hiển nhiên đúng theo AM-GM:
Sử dụng bổ đề ta có:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$ (**)
Mặt khác ta có các bdt sau:
$3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$ (1)
$abc(a+b+c)\leq (a+b+c)[\frac{a+b+c}{3}]^{3}\Rightarrow a+b+c\geq 3$ (2)
Từ (1)(2) (**) ta có dpcm
Dấu = khi $a=b=c$