Chủ đề này có 1 trả lời

[exact]

Cho tam giác vuông cố định $\triangle ABC$ vuông tại $C$. Trên đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$, lấy một điểm di động $S$. Hạ $AD\perp SB$  và hạ $AF \perp SC$.

 

a) Tìm quỹ tích của $D$ và $F$ khi $S$ di chuyển.

b) Chứng tỏ rằng: năm điểm $A, B, C, D, F$ nằm trên một hình cầu. Xác định tâm hình cầu đó.
c) Chứng minh rằng $DF$ đi qua một điểm cố định trên $BC$
 

[chanhquocnghiem]

Cho tam giác vuông cố định $\triangle ABC$ vuông tại $C$. Trên đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$, lấy một điểm di động $S$. Hạ $AD\perp SB$  và hạ $AF \perp SC$.

 

a) Tìm quỹ tích của $D$ và $F$ khi $S$ di chuyển.

b) Chứng tỏ rằng: năm điểm $A, B, C, D, F$ nằm trên một hình cầu. Xác định tâm hình cầu đó.
c) Chứng minh rằng $DF$ đi qua một điểm cố định trên $BC$
 

a)

Gọi $t$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(ABC)$

$\alpha$ là mp chứa $t$ và $AB$ ; $\beta$ là mp chứa $t$ và $AC$

$D\in SB\subset \alpha ;\widehat{ADB}=90$ độ ---> quỹ tích của $D$ là đường tròn đường kính $AB$ trong mp $\alpha$

$F\in SC\subset \beta ;\widehat{AFC}=90$ độ ---> quỹ tích của $F$ là đường tròn đường kính $AC$ trong mp $\beta$

 

b)

Gọi $I$ là trung điểm $AB$.Các tam giác $ADB,ACB$ vuông tại $D$ và $C$ ---> $IA=IB=IC=ID$ (1)

Gọi $J$ là trung điểm $AC$ ---> $IJ$ // BC ---> IJ _|_ AC (2)

t _|_ (ABC) ---> t _|_ IJ (3)

(2),(3) ---> $IJ$ _|_ $\beta$ ---> IJ _|_ (AFC) (4)

$\Delta AFC$ vuông tại F ---> $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta AFC$ (5)

(4),(5) ---> $IA=IF=IC$ (6)

(1),(6) ---> $IA=IB=IC=ID=IF$ ---> $A,B,C,D,F$ cùng nằm trên một mặt cầu tâm $I$ (trung điểm $AB$)

 

c)

Gọi $E=DF\cap BC$

AC _|_ BC ---> SC _|_ BC

Kẻ DK // BC ($K\in SC$) ---> $\frac{DK}{BC}=\frac{SD}{SB}=\frac{SA^2}{SB^2}$ (vì $SD.SB=SA^2$)

---> $DK=\frac{SA^2}{SB^2}.BC$ (7)

$FC.SC=AC^2\Rightarrow \frac{FC}{SC}=\frac{AC^2}{SC^2}$ (8)

$\frac{KF}{SC}=\frac{SF}{SC}-\frac{SK}{SC}=\frac{SA^2}{SC^2}-\frac{SA^2}{SB^2}=SA^2.\frac{SB^2-SC^2}{SB^2.SC^2}=\frac{SA^2.BC^2}{SB^2.SC^2}$ (9)

(8),(9) ---> $\frac{FC}{KF}=\frac{AC^2.SB^2}{SA^2.BC^2}$ (10)

Hai tam giác $FDK,FEC$ đồng dạng ---> $CE=DK.\frac{FC}{KF}=\frac{SA^2}{SB^2}.BC.\frac{AC^2.SB^2}{SA^2.BC^2}=\frac{AC^2}{BC}$ = số không đổi.

Vậy $DF$ luôn đi qua điểm $E$ cố định trên $BC$ cách $C$ một khoảng $CE=\frac{AC^2}{BC}$ không đổi (C nằm giữa B và E) hay nói cách khác $E$ là điểm thuộc $BC$ sao cho $\Delta ABE$ vuông tại $A$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-10-2013 - 23:40