Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh 5 điểm $\in$ 1 hình cầu


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 exact

exact

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 28-11-2005 - 11:25

Cho tam giác vuông cố định $\triangle ABC$ vuông tại $C$. Trên đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$, lấy một điểm di động $S$. Hạ $AD\perp SB$  và hạ $AF \perp SC$.

 

a) Tìm quỹ tích của $D$ và $F$ khi $S$ di chuyển.

b) Chứng tỏ rằng: năm điểm $A, B, C, D, F$ nằm trên một hình cầu. Xác định tâm hình cầu đó.
c) Chứng minh rằng $DF$ đi qua một điểm cố định trên $BC$
 



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 16-10-2013 - 18:47

Cho tam giác vuông cố định $\triangle ABC$ vuông tại $C$. Trên đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$, lấy một điểm di động $S$. Hạ $AD\perp SB$  và hạ $AF \perp SC$.

 

a) Tìm quỹ tích của $D$ và $F$ khi $S$ di chuyển.

b) Chứng tỏ rằng: năm điểm $A, B, C, D, F$ nằm trên một hình cầu. Xác định tâm hình cầu đó.
c) Chứng minh rằng $DF$ đi qua một điểm cố định trên $BC$
 

a)

Gọi $t$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(ABC)$

$\alpha$ là mp chứa $t$ và $AB$ ; $\beta$ là mp chứa $t$ và $AC$

$D\in SB\subset \alpha ;\widehat{ADB}=90$ độ ---> quỹ tích của $D$ là đường tròn đường kính $AB$ trong mp $\alpha$

$F\in SC\subset \beta ;\widehat{AFC}=90$ độ ---> quỹ tích của $F$ là đường tròn đường kính $AC$ trong mp $\beta$

 

b)

Gọi $I$ là trung điểm $AB$.Các tam giác $ADB,ACB$ vuông tại $D$ và $C$ ---> $IA=IB=IC=ID$ (1)

Gọi $J$ là trung điểm $AC$ ---> $IJ$ // BC ---> IJ _|_ AC (2)

t _|_ (ABC) ---> t _|_ IJ (3)

(2),(3) ---> $IJ$ _|_ $\beta$ ---> IJ _|_ (AFC) (4)

$\Delta AFC$ vuông tại F ---> $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta AFC$ (5)

(4),(5) ---> $IA=IF=IC$ (6)

(1),(6) ---> $IA=IB=IC=ID=IF$ ---> $A,B,C,D,F$ cùng nằm trên một mặt cầu tâm $I$ (trung điểm $AB$)

 

c)

Gọi $E=DF\cap BC$

AC _|_ BC ---> SC _|_ BC

Kẻ DK // BC ($K\in SC$) ---> $\frac{DK}{BC}=\frac{SD}{SB}=\frac{SA^2}{SB^2}$ (vì $SD.SB=SA^2$)

---> $DK=\frac{SA^2}{SB^2}.BC$ (7)

$FC.SC=AC^2\Rightarrow \frac{FC}{SC}=\frac{AC^2}{SC^2}$ (8)

$\frac{KF}{SC}=\frac{SF}{SC}-\frac{SK}{SC}=\frac{SA^2}{SC^2}-\frac{SA^2}{SB^2}=SA^2.\frac{SB^2-SC^2}{SB^2.SC^2}=\frac{SA^2.BC^2}{SB^2.SC^2}$ (9)

(8),(9) ---> $\frac{FC}{KF}=\frac{AC^2.SB^2}{SA^2.BC^2}$ (10)

Hai tam giác $FDK,FEC$ đồng dạng ---> $CE=DK.\frac{FC}{KF}=\frac{SA^2}{SB^2}.BC.\frac{AC^2.SB^2}{SA^2.BC^2}=\frac{AC^2}{BC}$ = số không đổi.

Vậy $DF$ luôn đi qua điểm $E$ cố định trên $BC$ cách $C$ một khoảng $CE=\frac{AC^2}{BC}$ không đổi (C nằm giữa B và E) hay nói cách khác $E$ là điểm thuộc $BC$ sao cho $\Delta ABE$ vuông tại $A$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-10-2013 - 23:40

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh